Решение практических заданий
№1. Начало вектора находится в точке
,
конец – в точке
.
Найти координаты вектора
,
его длину и направляющие косинусы.
Решение.
Обозначим координаты вектора через
:
,
то есть
.
Используя формулу:
,
вычислим длину вектора:
.
Определим направляющие косинусы вектора, используя формулы:
.
Подставляя в эти формулы значения координат вектора и его длины, находим:
.
№2. Даны векторы
.
Разложить вектор
по векторам
.
Решение.
Пусть
,
где
- некоторые коэффициенты. Так как равные
векторы имеют равные координаты и
координаты линейной комбинации равны
соответствующим линейным комбинациям
одноименных координат, то
Решив эту систему уравнений, найдем:
.
Итак,
.
№3. Найти скалярное произведение
векторов
.
Решение.
Находим
.
Так как
.
№4. Даны векторы:
.
При каком значении
эти векторы перпендикулярны?
Решение.
Находим скалярное произведение этих
векторов:
,
так как
,
то
.
Отсюда
,
то есть
.
№5. Найти
,
если
.
Решение.
.
В задачах №6-№17 найти:
№6. Найти абсолютную величину вектора
, если А(9,-4), В(-1,5).
№7. Найти вектор
,
равный сумме векторов
и
,
и абсолютную величину вектора
,
если:
,
.
№8. Найти вектор
и его абсолютную величину, если:
,
.
№9. Даны векторы:
,
.
Найти вектор
и его абсолютную величину.
№10. В прямоугольной декартовой
системе координат даны точки А(3,-4,5) и
В(-1,2,-2). Найти координаты векторов
№11. Дан вектор
.
Найти координаты конца вектора, если
координаты его начала А(4,-3).
№12. Дан вектор
.
Найти координаты начала вектора, если
координаты его конца В(5,-3).
№13. Векторы:
,
,
.
Найти: 1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
№14. Первая координата вектора
равна 6,а
.
Определить вторую
координату .
№15. Даны векторы:
,
,
,
.
Найти: 1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
№16. Найти косинус угла между
векторами: 1)
,
;
2)
,
.
№17. Даны вершины
:
А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найти косинусы углов
треугольника.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.
Занятие №7. Векторное и смешанное произведение векторов.
План занятия:
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.
3.Усвоение и закрепление нового материала.
Решение практических заданий
№1. Найти векторное произведение
векторов
.
Решение.
Имеем
,
то есть
.
№2. Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах
.
Решение.
Находим векторное произведение
на
:
.
Так как модуль векторного произведения
двух векторов равен площади построенного
на них параллелограмма, то
(кв.ед.).
№3. Найти смешанное произведение
векторов
.
Решение.
.
№4. Показать, что векторы
компланарны.
Решение.
Находим смешанное произведение векторов:
.
Так как
,
то заданные векторы компланарны.
№5. Вычислить
.
Решение.
Так как
,
то эти векторы компланарны. Следовательно,
их смешанное произведение равно нулю:
.
№6. Найти векторное произведение
векторов
.
№7. Вычислить площадь треугольника
с вершинами
.
№8. Найти смешанное произведение
векторов
.
№9. Показать, что векторы
компланарны.
4. Подведение итогов занятия.
5. Постановка домашнего задания.
Занятие №8. Прямая на плоскости и в пространстве.