3. Способы понижения погрешностей выборочных оценок расчетных параметров

Выше (п.1.6.1) уже приводилось расчетное соотношение для определения доверительного интервала для истинного (из генеральной совокупности) значения математического ожидания наблюдаемой переменной х  см. формулу (6) с учетом (5). Эта формула основана на том, что выборочное среднее наблюдаемой переменной является результатом усреднения значений переменной, "непосредственно" наблюдаемых в процессе имитационного эксперимента. Если эту исходную "расчетную установку (непосредственного наблюдения)" не менять, то уменьшения дисперсии среднего значения можно достичь только за счет увеличения числа наблюдений  n (или увеличения длительности прогона, если объектом наблюдения является процесс с существенной стационарной фазой).

В то же время разработаны процедуры уменьшения дисперсии , которые в отдельных случаях могут существенно уменьшить именно потребное число наблюдений.

Выбор конкретной процедуры определяется характером моделируемого процесса и далеко не всегда очевиден. Поясним общую идею.

Еще раз рассмотрим формулу (6) для оценки границ доверительного интервала. Видно, что сужения интервала можно достичь, не только в случае увеличения числа наблюдений N, но и в том случае, если каким-то образом уменьшить выборочную дисперсию наблюдаемой переменной. Однако, как уже отмечено, если объект наблюдения – переменную х не менять, то и дисперсия не изменится, поскольку эта дисперсия является объективной характеристикой наблюдаемого процесса, не зависящей от схемы имитационного эксперимента (при правильном построении эксперимента). Выборочное значение дисперсии наблюдаемой переменной, конечно, будет флюктуировать, например, при увеличении числа наблюдений, но в силу своей природы это значение не может быть сделано сколь угодно малым – оно (в случае несмещенных оценок) будет стремиться к своему определенному истинному значению (по генеральной совокупности).

В связи с этим методологически многие способы уменьшения дисперсии величины основаны на замене наблюдаемой величины х другой случайной величиной z, которая имеет такое же значение математического ожидания, но существенно меньшее значение дисперсии. Последнее обстоятельство приводит к сужению доверительного интервала для истинного значения математического ожидания наблюдаемой переменной z, а, следовательно, и величины х (точнее, переменной z), поскольку границы интервала зависят от дисперсии наблюдаемой переменной  см. формулы (6) и (9).

Рассмотрим некоторые из таких методов⁹. Однако предварительно напомним некоторые понятия из теории случайных процессов (или более узко – случайных временных рядов), применяемые в теории имитационного моделирования. В частности, основываясь на этих понятиях, поясним приведенные выше соотношения для оценок дисперсии s_x наблюдаемой величины х (см., например, формулу (5)), которые используются в формулах для определения доверительного интервала.

Пусть наблюдается последовательность значений х₁, х_2, … случайной величины х. Для рассматриваемого примера это могут быть, например, значения длины L очереди, оцениваемые в отдельных наблюдениях.

Последовательно стохастическая интерпретация ряда х₁, х_2, … заключается в том, что каждое отдельное значение x_i рассматривается как значение ("самостоятельной") случайной величины, которую далее будем обозначать также символом x_i, причем закон распределения любой величины x_i идентичен закону распределения величины х (иначе говоря, каждая величина x_i является "дубликатом" величины х).

При такой интерпретации выборочное среднее величины х определяется как среднее значение случайных значений величин x_i , i=1,…,n:

(11)

В теории вероятностей доказано, что такая оценка является несмещенной.

Истинная (по генеральной совокупности) дисперсия величины х при условии, что она определяется как сумма n случайных величин, то есть как зависящая от других случайная переменная:

x = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n, (12)

определяется соотношением:

. (13)

Величина ковариации определяется характером взаимозависимостей величин x₁, x₂, …, x_n. Следовательно, специальным выбором этих величин можно сделать ковариацию нулевой или даже отрицательной и тем самым уменьшить дисперсию наблюдаемой зависимой переменной.

Фактически выше (п.1.6) эта идея уже была реализована.

Действительно, в методе повторений каждая случайная величина x_i получена в результате проведения независимого имитационного эксперимента и в силу этого все величины x_i взаимно независимы. Следовательно, любая ковариация равна нулю. Именно поэтому расчетное соотношение для выборочной дисперсии имеет вид формулы (5).

С другой стороны, в методе интервалов значения наблюдаемой переменной, соответствующие различным наблюдениям, в силу специфики организации имитационного эксперимента, зависимы. Это приводит к необходимости учета ковариаций в формуле для расчета дисперсии – формула (7). При этом, как правило, корреляция соседних переменных x_i и x_i+1 положительна, что приводит к положительным ковариациям и, соответственно, к увеличению дисперсии наблюдаемой переменной х.

Метод циклов с рассматриваемой точки зрения также сводится к управлению ковариациями получаемого ряда значений. А именно, выбирая особым образом начала циклов мы избавляемся от автокорреляции наблюдений и, тем самым, приближаем ковариации к нулю.

Рассмотрим другие, основанные на этой общей идее способы понижения дисперсии среднего значения наблюдаемой случайной величины х.