1.6.2. Метод подынтервалов

Этот метод позволяет уменьшить влияние начальных условий на оцениваемые статистические характеристики. Таким образом, применение его целесообразно в тех случаях, когда предметом исследования являются стационарные характеристики системы.

Очень кратко напомним суть метода.

В данном методе в течение одного прогона проводят несколько наблюдений, причем весь прогон разбивается на равные интервалы, соответствующие отдельным наблюдениям (рис.1).

1-е набл. 2-е набл. 3-е набл. 4-е набл. 5-е набл. 6-е набл.

0 5 10 15 20 25 30 t

Рис.1. Реализация случайной функции L(t) для случая одноканальной СМО

В качестве преимущества метода может рассматриваться то, что в более поздних наблюдениях влияние начальных условий уменьшается, благодаря чему можно точнее оценить стационарные характеристики системы. Кроме того, здесь (как и выше) для уменьшения влияния начальных условий можно попытаться сдвинуть "вправо" начало первого интервала наблюдений.

После выполнения ряда наблюдений их также можно обработать по формулам вида (1)–(6). В то же время, следует учитывать, что между отдельными наблюдениями, если они входят в один и тот же прогон, существует автокорреляция, поскольку конечное состояние системы в i-м наблюдении является начальным для (i+1)-го наблюдения. Это усложняет методику расчета и увеличивает погрешность расчета наблюдаемой случайной величины. Уменьшить этот негативный эффект можно за счет увеличения числа и длительности периодов наблюдений. Однако такой способ может оказаться неприемлемым по затратам машинного времени или по характеру моделируемого процесса (конечный рабочий день).

Более корректные оценки дисперсии наблюдаемой величины х можно получить, пользуясь следующими формулами:

, (7)

где , j=0, 1, 2, …

Здесь v_j – выборочная ковариация между наблюдениями "удаленными" друг от друга на j шагов. Соответственно, v₀ – выборочная оценка дисперсии, получаемая в предположении, что автокорреляция отсутствует (см. формулу (4)).

В приведенных соотношениях полагается, что все наблюдения делаются в течение одного прогона. Только такие наблюдения автокоррелированы. Иначе формулы нужно усложнять – разбивать на группы наблюдений, соответствующие различным прогонам.

В формуле (7) предел суммирования т определяется следующим образом: т выбирается таким, что при j>m величины v_j пренебрежимо малы.

Для применения формулы (7) необходимо, чтобы выполнялось условие m«n. Это условие можно выполнить, увеличивая длительность наблюдений.

Влияние автокорреляции убывает по мере увеличения числа наблюдений. При достаточно больших п оценку дисперсии можно проводить по формуле (4), иначе говоря, можно ограничиться первым слагаемым в (7).

1.6.3. Метод циклов

Метод циклов^⁸ является, по существу, модификацией метода подынтервалов, в которой начала подинтервалов выбирают так, чтобы начальные условия отдельных наблюдений были "почти одинаковыми". Это может существенно уменьшить влияние автокорреляции.

Слова "почти одинаковые условия" следует понимать в том смысле, что они одинаковы с точки зрения оценки выбранной для наблюдения зависимой переменной. В рассмотренном выше примере первые три наблюдения можно сопоставить, например, интервалам t=07, t=715 и t=1530. Тогда эти наблюдения будут начинаться при одинаковом – нулевом значении наблюдаемой переменной L.

Достаточно очевидно, что в сложных имитационных экспериментах, когда одновременно наблюдение ведется за большим количеством разнородных переменных (иначе эксперимент невыгоден), метод циклов имеет ограниченное применение, поскольку в начальной фазе трудно найти два таких момента времени, которые были бы одинаковы с многих точек зрения. В стационарной фазе можно ожидать некоторой регулярности в поведении моделируемого процесса, однако, при этом количество наблюдений (при фиксированной длине прогона) будет меньше, чем в методе подынтервалов, в котором нет столь жестких ограничений на выбор подынтервалов.

Сравним метод подынтервалов в рассмотренной выше модификации с методом циклов с точки зрения оценки выборочного среднего наблюдаемой величины.

В методе подынтервалов длины подынтервалов, соответствующих разным наблюдениям, одинаковы. Поэтому, например, наблюдаемая величина L_i (средняя длина очереди в i-м интервале) определяется как частное от деления случайной величины A_i (площадь под участком кривой L(t)) на константу (b_i  a_i) – длину интервала.

В методе циклов значение наблюдаемой случайной величины в i-м наблюдении является частным от деления двух случайных величин. Это обстоятельство существенно усложняет алгоритм расчета среднего выборочного значения наблюдаемой случайной величины.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде.

Пусть наблюдаемая величина x_i определяется через другие случайные величины z_i и t_i по формуле вида:

x_i = z_i/t_i .

(Для рассматриваемого примера z_i = A_i, t_i – случайная длина i-го подынтервала).

Таким образом, x_i является функцией двух случайных величин.

Выборочное среднее величины x_i грубо может быть рассчитано как выборочное среднее независимой случайной величины – по формуле (3). Однако такая оценка будет смещенной.

Более точная оценка выборочного среднего такова:

, (8)

где

, i = 1, 2, …, п; . (8а)

Доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью р содержится истинное (по генеральной совокупности) среднее значение _х величины х: определяется соотношением:

, (9)