1.6. Схемы проведения имитационных экспериментов. Статистическая обработка результатов экспериментов

Будем полагать, что в моделируемом случайном процессе можно выделить две фазы:

• начальную (неустановившуюся, переходную, нестационарную);

• стационарную (установившуюся).

Грубо можно выделить три типа процессов:

• длительность начальной фазы мала по сравнению с длительностью всего процесса или той части процесса, которая интересует исследователя. В таких случаях, как правило, интерес представляет только стационарная фаза. Часто для простоты полагают, что процесс потенциально может длиться бесконечно, что упрощает исследования стационарной фазы;

• длительности начальной и стационарной фаз соизмеримы. В этих случаях исследование начальной фазы необходимо – она может представлять интерес сама по себе или, по крайней мере, с точки зрения оценки того ресурса времени, который необходим для выхода системы в стационарную фазу. Стационарная фаза в этих ситуациях также может быть объектом исследований либо сама по себе, либо как составная часть всего процесса;

• стационарная фаза незначительна или отсутствует вообще. В таких случаях указанное деление на фазы лишено смысла и интерес представляют, прежде всего, характеристики процесса в целом.

Напомним, что в имитационном моделировании существенную роль играют следующие понятия

• "наблюдение";

• "прогон модели";

• "момент начала наблюдения (за системой)";

• "длительность одного наблюдения";

• "количество наблюдений".

Под прогоном модели ⁶ понимают пошаговое воспроизведение одной реализации жизни моделируемой системы или интересующего этапа жизни.

Под наблюдением – часть прогона модели. В частном случае в течение одного прогона могут совершать только одно наблюдение и оно, в частности, может совпадать с прогоном в целом.

Более детальное пояснение этих понятий следует вспомнить по лекциям курса "Теория игр и исследование операций".

Рассмотрим три типовые схемы проведения имитационных экспериментов.

1.6.1. Метод повторений

Суть метода повторений заключается в том, что за один прогон модели осуществляют одно наблюдение, причем по длительности оно совпадает с прогоном модели или только со стационарной фазой. Началом всех наблюдений является начальный момент t=0.

Пусть проведено п наблюдений и х₁,…, х_п – значения случайной величины в отдельных наблюдениях.

В рамках рассмотренного выше примера имитационной модели СМО в качестве случайной величины х может рассматриваться, например:

• средняя за период наблюдения длина L* очереди:

; (1)

• средняя за период наблюдения длительность пребывания клиента в банке:

, (2)

где М – случайное число клиентов, обслуженных в данном наблюдении;

– время пребывания т-го клиента в банке.

Рассмотрим кратко вопросы корректной статистической оценки наблюдаемой величины х.

Выборочное среднее величины х определяется по формуле:

. (3)

Несмещенная оценка дисперсии величины х определяется по формуле:

. (4)

Кроме того может быть оценена такая полезная характеристика, как доверительный интервал, в котором с заданной вероятностью р содержится истинное (по генеральной совокупности) среднее значение _х величины х. Напомним, что в соответствии с основными принципами математической статистики, оценки доверительного интервала строятся на интерпретации величины как функции n случайных величин х₁,…, х_п – см. (3).

Соотношения для определения границ доверительного интервала строятся в зависимости от того известно или нет истинное СКО _х для рассматриваемой "исходной" случайной величины.

Пусть значение _х известно. Тогда, если предположить, что выборочное среднее нормально распределено (как сумма n одинаковых независимых случайных величин), то статистика

,

где µ − математическое ожидание случайной величины x,

 СКО величины .

будет подчиняться стандартному нормальному распределению.

В этом случае доверительный интервал определится соотношением

где Z_p  значение статистики Z, соответствующее уравнению: . Здесь f() плотность вероятности стандартного нормального распределения.

Пусть значение _х неизвестно. В этом случае вместо величины _х можно использовать ее выборочную оценку s_х и, соответственно, выборочную оценку величины :

(5)

Тогда, в соответствии со структурой (3) и (4), статистика

будет подчиняться t-распределению Стъюдента с n−1 степенями свободы.

В этом случае доверительный интервал определится соотношением

(6)

где  значение статистики Стъюдента с (п1) степенями свободы, соответствующее уравнению: . Здесь  плотность вероятности для распределения Стъюдента ⁷.

Таблицы для определения величин Z_p и приведены в Приложении.