1.5. Возможные показатели, оцениваемые с помощью имитационной модели. Проверка гипотез

Поскольку применение имитационной модели сводится по существу к статистическому эксперименту, то все расчетные показатели представляют собой выборочные оценки отдельных параметров законов распределения различных случайных величин. В качестве основных групп таких оценок параметров можно принять:

• выборочные оценки математических ожиданий (средние значения) случайных величин. Для условий рассмотренной в п. 1.2 имитационной модели могут рассматриваться, например, такие величины: время пребывания клиента в системе, время работы канала в течение рабочего дня, время отдыха канала, время простоя канала (готов к обслуживанию, но нет клиентов);

• СКО тех же величин;

• коэффициенты корреляции различных величин.

Кроме того могут быть оценены непосредственно выборочные законы распределения тех же величин, например, в форме гистограмм.

Поскольку все выборочные оценки параметров являются случайными величинами, то важным результатом статистических экспериментов являются статистические погрешности расчета параметров.

Техника расчета перечисленных показателей обсуждается в следующих разделах.

В данном же разделе кратко остановимся на задаче проверки гипотез⁵.

Часто в ходе имитационного моделирования приходится решать типичную задачу математической статистики – задачу проверки гипотезы, например, о возможном значении того или иного параметра.

В качестве простого примера в рамках рассмотренной выше модели можно рассмотреть такой вопрос: пусть при каких-то характеристиках системы (обобщенно обозначим их через А) математическое ожидание времени обслуживания клиента равно µ₀ (предполагается, что имитационный эксперимент проведен и в качестве значения µ₀ принято соответствующее выборочное среднее); уменьшается ли это значение при переходе на характеристики В?

Как обычно формулируются нулевая (Н₀) и альтернативная (Н₁) гипотеза. Например:

Н₀ – математическое ожидание времени обслуживания клиента при характеристиках В равно µ₀;

Н₁ – среднее время обслуживания клиента при характеристиках В меньше µ₀;

Далее проводится эксперимент с характеристиками В и гипотеза Н₀ либо подтверждается, либо отвергается в пользу гипотезы Н₁. При этом, учитывая статистический характер выводов, следует понимать, что принятие нулевой гипотезы означает не доказательство ее справедливости, а только то, что на основании полученных данных нельзя сделать уверенного отказа от нее.

При проверке гипотезы можно сделать ошибки двух родов. Ошибка первого рода заключается в отказе от нулевой гипотезы, когда она верна. Ошибка второго рода заключается в принятии нулевой гипотезы, когда она не верна. Обозначим вероятность ошибки первого рода через α. Эту вероятность принято называть уровнем значимости теста.

Критерий принятия решения формируется с помощью некоторой тестовой статистики, имеющей известное распределение. Значение статистики определяется по результатам имитационного моделирования по правилу исключения (правилу отказа от нулевой гипотезы) при заданном значении α.. Если значение статистики попадает в так называемую тестовую область (удовлетворяет неравенствам), то нулевая гипотеза отвергается.

В табл.1 приведены тестовые статистики и правила исключения для случаев:

• проверки равенства математического ожидания случайной величины X некоторому значению µ₀ ;

• проверки равенства математических ожиданий двух случайных величин X и Y.

Таблица 1

Тестовые статистики и правила исключения

Описание теста	Тест 1	Тест 2	Тест 3	Тест 4
Нулевая гипотеза:	µX = µ0	µX = µ0	µX = µY	µX = µY
Условие проверки гипотезы:	− известно	− неизвестно	, − известны	, − неизвестны
Тестовая статистика:
Распределение тестовой статистики:	Стандартное нормальное	t-Стьюдента	Стандартное нормальное	t-Стьюдента
Число степеней свободы (I)	0	IX – 1	0	Ближайшее целое к
Альтернативные гипотезы:	µX > µ0 µX < µ0 µX ≠ µ0	µX > µ0 µX < µ0 µX ≠ µ0	µ > µ0 µ < µ0 µ ≠ µ0	µX > µ0 µX < µ0 µX ≠ µ0
Правила исключения:	Z > Zα Z < −Zα |Z| > Zα/2	t > tα t < −tα |t| > tα/2	Z > Zα Z < −Zα |Z| > Zα/2	t > tα t < −tα |t| > tα/2

Обозначения: I_X, I_Y – объемы выборок для величин X и Y; µ_X , µ_Y – математические ожидания величин X и Y ; , − истинные СКО средних значений величин X и Y при условии, что объемы выборок равны. соответственно I_X и I_Y; , − выборочные оценки СКО средних значений величин X и Y; α – уровень значимости; t_α/2 – критическое значение статистики Стъюдента c I степенями свободы.