1.2. Событийный подход к построению алгоритма модели

При событийном моделировании в модели отображаются изменения, происходящие в моделируемой системе в моменты реализации событий определенного типа. Соответственно, имитационный эксперимент сводится к математическому воспроизведению упорядоченной во времени последовательности событий. При этом схема функционирования модели имеет циклический характер. Суть одного цикла кратко можно описать так:

"определение очередного события – моделирование реакции системы на это событие".

Одной из основных задач разработчика модели является отбор именно тех типов событий, которые обязательно должны быть отображены в модели (без которых модель неадекватна реальности), и составление алгоритма определения и упорядочивания конкретных событий выбранных типов. Такие события будем называть основными. Эта задача не является строго формализуемой, а ее первая часть – отбор типов событий вообще по преимуществу относится к области искусства, а не науки.

Рассмотрим возникающие проблемы на примерах двухканальных систем массового обслуживания (СМО). Для конкретности предположим, что это системы вида (M/M/2):(ПерППО/N/), где N< - максимальное допустимое количество клиентов в системе.

Здесь и далее мы придерживаемся расширенных обозначений Кендалла4 (a/b/c):(d/e/f), используемых для классификации СМО: а – распределение моментов поступления заявок на обслуживание (в рассматриваемом примере символ М означает пуассоновское распределение); b – распределение времени обслуживания; с – число параллельно обслуживающих узлов; d – дисциплина очереди (в рассматриваемом примере: ПерППО  "первым пришел, первым обслужен"); е – максимальное число допускаемых в систему требований (в рассматриваемом примере это число предполагается конечным); f – емкость источника, генерирующего заявки на обслуживание.

Для наглядности можно предположить, что речь идет об обслуживании клиентов в банке, при условии, что работают два кассира.

Зададим следующие бихевиоральные (поведенческие) характеристики СМО:

• внутри банка клиенты разделяются на две очереди – по кассирам;

• если клиент приходит в банк при условии, что в это время в банке находится N клиентов, то он уходит (не ждет своей очереди вне банка);

• клиент становится в очередь к тому кассиру, у которого меньше очередь; если очереди одинаковые, то кассир выбирается случайно (равновероятно);

• если в данный момент времени один кассир завершил обслуживание очередного клиента и очередь к нему стала на j2 клиентов меньше, чем у другого кассира, то последний клиент из очереди другого кассира с вероятностью q_j переходит в хвост другой очереди (величины q_j при j2 считаются заданными), при этом будем полагать, что клиент переходит в другую очередь до того, как освободившийся кассир приступает к обслуживанию следующего клиента.

Состояния системы определяется состоянием кассиров и количествами клиентов в каждой очереди – п₁ и п₂ (включая обслуживаемых в данный момент клиентов). Состояние кассира дискретно (и, будем считать, мгновенно) меняется в момент завершения обслуживания очередного клиента (соответствующий кассир немедленно приступает к обслуживанию очередного клиента, если его очередь не пуста) или в момент прибытия в банк нового клиента. Соответственно, в качестве основных событий в модели следует принять:

• событие прибытия в банк очередного клиента (соответствующий тип событий будем обозначать символом С_{пк ,} а соответствующие моменты времени  t_пк);

• событие окончания обслуживания очередного клиента (соответствующий тип событий будем обозначать символом Сⁱ_{ок ,} а соответствующие моменты времени  tⁱ_ок, где i – номер кассира);

Центральными в событийном подходе являются три основных алгоритма модели:

• алгоритм задания начального состояния системы и внешней среды;

• алгоритм оценки и упорядочивания моментов реализации основных событий;

• алгоритм определения реакции системы на очередное основное событие (под реакцией здесь понимается изменение параметров, описывающих состояние системы).

Часто второй алгоритм расширяют, включая в рассмотрение события всех типов – не только основных. Возможно также объединение, может быть, частичное второго и третьего алгоритма.

Рассмотрим третий алгоритм. Состояние системы будем описывать следующими параметрами: п₁, п₂, k₁, k₂, где k_i – состояние i-го кассира (0 – не занят; 1 – занят).

Основные блоки алгоритма:

при реализации события типа С_пк:

• если п₁ + п₂ = N, то состояние системы не меняется;

• если п₁ + п₂ < N, то в соответствии со сформулированными выше допущениями:

• определяется кассир, в очередь к которому становится клиент (i-й кассир);

• очередной клиент включается в очередь (к i-му кассиру): п_i:= п_i+1;

• если i-й кассир был свободен, то меняется его состояние k_i := 1.

при реализации события типа Сⁱ_ок:

• длина i-й очереди уменьшается: п_i:= п_i1 (пусть для определенности i=1);

• определяется разность т = п₂  п₁ и если т2, то определяем, переходит или нет последний клиент из другой очереди в данную; если да, то: п₁:= п₁+1, п₂:= п₂ 1;

• если п_i=0, то соответствующий кассир переводится в состояние k_i := 0.

Рассмотрим первый алгоритм – задание начального состояния системы (кассиры и ожидающие в очереди и обслуживаемые клиенты) и внешней среды (совокупность потенциальных клиентов)

Воздействие среды на систему сводится к генерированию очередного клиента и, соответственно, заданию момента его появления в банке. Таким образом, алгоритм задания начального состояния системы и внешней среды включает следующие операторы:

n₁ := 0; n₂ := 0; k₁ := 0; k₂ := 0; t_nk := G(t₀),

где G – алгоритм определения очередного момента появления клиента в банке с учетом предыдущих моментов и момента t₀ начала работы банка.

Рассмотрим второй алгоритм. Именно этот алгоритм в сложных задачах часто порождает наиболее принципиальные проблемы моделирования.

Ключевым моментом построения алгоритма является упорядочение моментов реализации основных событий. Соответственно, в качестве основных моделируемых характеристик следует принять моменты реализации основных событий различных типов. Для хранения моментов используется массив TOC[1..N_oc, 1..2]: TOC[i, 1] – момент времени, TOC[i, 2] – тип события. Важным является вопрос о количестве N_oc, особых событий одновременно хранимых в массиве.

Основные особенности анализа хронологии событий мы рассматривали в курсе "Теория игр и исследование операций". Студенты должны повторить соответствующий материал. Здесь же приведем только результат анализа – описание типового шага цикла определения последовательности основных событий.

(1) из массива ТОС выбирается самый ранний момент времени, определяется тип соответствующего события;

(2) если очередное основное событие оказалось событием типа С_пк, то:

• если k₁=0 и k₂=0, или k₁=0 и k₂=1, или k₁=1 и k₂=0 (то есть если множество свободных кассиров не пусто), то выбираем свободного кассира (i-го), к которому очередной клиент станет на обслуживание. Система переводится в состояние k_i =1, n_i = 1. Массив пополняется моментами реализации основных событий типа С_пк и Сⁱ_ок и очищается от информации об обработанном событии типа С_пк;

• если k₁=1 и k₂=1 и n<N, то выбираем кассира (i-го), к которому очередной клиент станет в очередь, система переводится в состояние n_i = n_i + 1; массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа С_пк и очищается от информации об обработанном событии типа С_пк;

• если k₁=1 и k₂=1 и n=N, то состояние системы не изменяется; массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа С_пк и очищается от информации об обработанном событии типа С_пк;

(3) если очередное основное событие оказалось событием типа Сⁱ_ок, то (номер другого кассира обозначим через j):

• если n_i=1, то система переводится в состояние k_i=0, n_i=0; массив ТОС очищается от информации об обработанном событии типа Сⁱ_ок;

• если n_i>1, то система переводится в состояние k_i=1, n_i= n_i1; массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа Сⁱ_ок и очищается от информации об обработанном событии типа Сⁱ_ок;

• (это действие является общим заключительным в п.3) определяется разность т = п_j  п_i и если т2, то определяется, переходит или нет последний клиент из j-й очереди в i-ю; если да, то п_i:= п_i+1, п_j:= п_j 1. Если п_i:= 1, то массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа Сⁱ_ок.

В данном случае массив ТОС заполняется не более чем тремя моментами реализации основных событий трех возможных типов.

Имея в виду использование вариантов данного примера на практических занятиях, отметим, что модель можно изменить и усложнить за счет увеличения числа каналов обслуживания, придания им различных характеристик (например, по скорости обработки заявок), случайной задержки времени перехода клиента из одной очереди в другую, отказа от мгновенности перехода кассира к обслуживанию очередного клиента, задания единой очереди в банке вместо отдельных очередей к различным кассирам и т.д.

Рассмотрим, например, как меняется модель, если учесть, что кассир после обслуживания очередного клиента тратит какой-то (случайный) отрезок времени для отдыха (в самостоятельных работах режим отдыха кассира можно задать иным).

В этом случае переменные k, отображающие состояния кассиров, будут принимать три значения: 1 – кассир обслуживает клиента, 0 – кассир свободен и готов обслужить клиента, –1 – кассир отдыхает. В число основных событий необходимо включить событие "переход кассира от отдыха к готовности обслужить клиента" – Сⁱ_рк .

Типовой шаг цикла анализа последовательности основных событий будет таким:

(1) из массива ТОС выбирается самый ранний момент времени, определяется тип соответствующего события;

(2) если очередное основное событие оказалось событием типа С_пк, то действия подобны предыдущему случаю. Следует только учесть дополнительное состояние кассира – "отдых" и, соответственно, тот факт, что во время отдыха обоих кассиров очередь может накапливаться. Поэтому условие n<N необходимо проверять и в том случае когда оба кассира отдыхают;

(3) если очередное основное событие оказалось событием типа Сⁱ_ок, то:

• система переводится в состояние k_i=–1, n_i= n_i1;

• массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа Сⁱ_рк и очищается от информации об обработанном событии типа Сⁱ_ок;

• определяется разность т = п_j  п_i и если т2, то определяется, переходит или нет последний клиент из j-й очереди в i-ю; если да, то: п_i:= п_i+1, п_j:= п_j 1. Если п_i= 1, то массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа Сⁱ_ок;

(4) если очередное основное событие оказалось событием типа Сⁱ_рк, то:

• если n_i=0, то система переводится в состояние k_i=0; массив ТОС очищается от информации об обработанном событии типа Сⁱ_рк;

• если n_i>0, то система переводится в состояние k_i=1; массив ТОС пополняется моментом реализации очередного основного события типа Сⁱ_ок и очищается от информации об обработанном событии типа Сⁱ_рк.

Обратим внимание на то, что и в данном случае массив ТОС заполняется не более чем тремя моментами реализации основных событий , хотя общее число типов таких событий – пять.

Замечание: выше мы, фактически, не интересовались состояние отдельных клиентов. Для нас важным был только вопрос: занят ли кассир, то есть, имеется ли среди клиентов обслуживаемый в данный момент времени и сколько всего клиентов в очереди? Чтобы подсчитать более детальные характеристики, например, подсчитать, сколько клиентов было обслужено, следует подсчитать, сколько раз наступало событие С_ок .