4.1.7. Модель смо (m/m/r):(gd/k/k)

В реальности такая модель может соответствовать цеху с K станками и обслуживающей эти станки бригаде из R механиков (каналов СМО). Всякий раз, когда станок выходит из строя, прибегают к услугам одного из механиков.

Интенсивность поломок, отнесенная к одному станку, равна . Один механик ремонтирует сломанные станки с интенсивностью  станков в единицу времени. Предполагается, что моменты времени поломок и время ремонта подчиняются распределению Пуассона.

Основное отличие от предыдущих моделей – ограниченность мощности источника заявок.

При заданной  интенсивность поломок станков во всем цехе будет пропорциональна количеству станков, находящихся в рабочем состоянии. Следует учитывать, что по терминологии СМО слова "в системе n станков" означают, что именно n станков сломаны. Следовательно, интенсивность поломок во всем цехе определяется так (в общих обозначениях):

(

_n =

K–n), 0n<K,

0, nK .

n

_n =

, 0n<R,

R, Rn<K,

0, nK .

Пользуясь этим формулами, из общей модели можно получить следующие соотношения для вероятностей состояния системы:

p_n =

, 0nR,

, RnK .

p₀ =

В это модели трудно получить выражения L_s и L_q в замкнутой форме. Поэтому нужно пользоваться изначальными выражениями из общей модели и проводить численные расчеты этих и других функциональных характеристик.

Значение _эфф можно получить как математическое ожидание величины (K – n), где n – дискретная случайная величина с распределением {p₀, p₁, …}:

_эфф = М[(K – n)] = (K – L_s)/

4.2. Модель смо (m/g/1):(gd//). Формула Поллачека-Хинчина

Непуассоновские системы сложны для теоретического исследования. В таких моделях, как правило, не получаются замкнутые выражения для функциональных характеристик. Одно из немногих исключений – это система, рассматриваемая в данном пункте при условии, что время обслуживания имеет произвольное распределение, но известны математическое ожидание M[t_об] и дисперсия D[t_об] этой случайной величины.

Мы приведем без доказательства формулу (Поллачека-Хинчина) для вычисления среднего числа L_s находящихся в системе заявок¹³. Пусть   интенсивность входного потока заявок. При выполнении условия M[t_об] < 1 можно показать, что

L_s = M[t_об] + , M[t_об] < 1.

Поскольку _эфф = , то остальные функциональные характеристики могут быть получены по общим соотношениям (см. п. 4.1.1). В то же время, не удается получить в замкнутой форме выражения для вероятностей состояний p_n.

Приложение

P-процентное значение t_p нормально распределенной величины t (P=100p, где p - доверительная вероятность)

Для нормально распределенной со стандартным отклонением 1 случайной величины t значение t_p удовлетворяет условию "|t| не превосходит t_p с вероятностью p“ и является решением уравнения Ф(t) = p, где Ф(t)  интеграл вероятности.

p	tp	p	tp
0,80	1,28	0,98	2,33
0,85	1,44	0,99	2,58
0,90	1,65	0,999	3,29
0,95	1,96	0,9999	3,89

P-процентное значение t_p,v величины t, распределенной по закону Стъюдента с v степенями свободы.

Для случайной величины t, распределенной по закону Стъюдента с v степенями свободы, значение t_p,v удовлетворяет условию "|t| не превосходит t_p,v с вероятностью p" и является решением уравнения , где  плотность вероятности для распределения Стъюдента.

	tp при различных значениях p
	p=0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
4	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
5	1,48	2,01	2,57	3,37	4,03	6,86
6	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
7	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
8	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
9	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
10	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
12	1,37	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
14	1,35	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
16	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
18	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92
20	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,85
25	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79	3,72
30	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,65
40	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,55
60	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66	3,46
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62	3,37
	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29