4.1.3. Модель смо (m/m/1):(gd/n/)

Эта модель отличается от предыдущей ограничением на емкость системы: система вмещает не более N клиентов, соответственно, максимальная длина очереди равна N–1.

Таким образом, формально можем положить:



_n =

, n = 0, 1, … N–1,

0, n N.

_n = , n = 0, 1, …



р_n =

(4.12)

ⁿ p₀, n  N,

0, n > N.

Соответственно, уравнение для p₀ имеет вид p₀(1 +  + … + ^N) = 1. Таким образом:

р₀ =

(4.13)

, 1,

, =1,

В этой модели значение параметра  = / не обязательно должно быть меньше 1, поскольку поступление клиентов в систему ограничивается ее конечной емкостью. Таким образом, в данном случае интенсивность поступления клиентов в систему естественно характеризовать величиной

_эфф = (1 – р_N).

Следует ожидать, что _эфф будет меньше . {Почему?}

С учетом (4.3), (4.12) и (4.13) среднее число клиентов в системе равно:

L_s =

(4.14)

, 1,

, =1,

{Студенты должны самостоятельно проделывать вывод последней формулы. Первую формулу из (4.14) можно получить с помощью суммы для арифметико-геометрической прогрессии: ¹². Возможны иные подходы.}

Зная значения L_s и _эфф можно получить значения других функциональных характеристик.

4.1.4. Модель смо (m/m/с):(gd//)

Эта модель обобщает модель из п. 4.1.2 по параметру с (число каналов обслуживания).

Пусть   интенсивность поступления клиентов в систему,   интенсивность обслуживания клиентов одним каналом.

Так как нет ограничений на число клиентов в системе, то _эфф = .

Наличие параллельных каналов обслуживания приводит к возрастанию фактической интенсивности обслуживания (здесь также лучше говорить об интенсивности выходного потока): если nс, то интенсивность равна n; если n>с, то интенсивность равна c. Используя принятые выше обозначения, можно записать:

n

_n =

, nс,

c, n>с,

_n = , n = 0, 1, … .

Соответственно,

p_n =

(4.15)

, nс,

, n>с,

Если предположить, что /c<1, то можно получить следующую формулу для p₀:

. (4.16)

Используя (4.15) и (4.16), можно рассчитать функциональные характеристики. Например, среднее число клиентов в очереди:

L_q = .

Остальные характеристики определяются в соответствии с общими формулами {проделать самостоятельно}.

4.1.5. Модель смо (m/m/с):(gd/n/), cn

Эта модель обобщает модель из п. 4.1.3 по параметру с (число каналов обслуживания).

Максимальная длина очереди в системе равна N–c.

Пусть   интенсивность поступления клиентов в систему,   интенсивность обслуживания клиентов одним каналом.

Приведем некоторые расчетные соотношения для параметров и характеристик системы.



_n =

, 0nN,

0, n>N .

n

_n =

, 0n<с,

c, cnN .

p_n =

, 1n<с,

, cnN .

р₀ =

;

.

L_q =

;

.

_эфф = (1 – р_N).

4.1.6. Модель смо (m/m/):(gd//)

В этой модели неограниченны емкости источника заявок и системы и, кроме того, полагается неограниченным количество каналов обслуживания. На практике такие модели соответствуют ситуации, когда клиент, одновременно выступает в роли канала (само)обслуживания.

Полагается, что интенсивность поступления клиентов в систему  постоянна, а также постоянна интенсивность  обслуживания клиентов одним каналом.

В обозначениях общей модели можно записать:

_n = ; _n = n, n = 0, 1, …,

Следовательно: .

Из равенства следует, что .

Откуда получаем: , n = 0, 1, ….

Таким образом вероятности состояний системы в этой модели совпадают с вероятностями распределения Пуассона с математическим ожиданием L_s = . Кроме того в этой системе, очевидно L_q = W_q = 0.