4.1.2. Модель смо (m/m/1):(gd//)

Итак, рассмотрим пуассоновскую модель с одним каналом (с=1), произвольной дисциплиной очереди, без ограничений на емкости источника и системы.

Предполагается, что клиенты поступают с постоянной интенсивностью .

Имеем: _n = ; _n = , n = 0, 1, … . Поскольку отсутствуют ограничения на емкость очереди и, следовательно, все прибывающие клиенты остаются в очереди, то _эфф = , _потери = 0.

Обозначим  = /. Тогда выражения для вероятности n-го состояния системы имеет вид (см. (4.1)):

р_n = ⁿp₀, n = 1, 2, … . (4.8)

Для p₀ имеем тождество p₀(1 +  + ² + …) = 1. Его решение

p₀ = 1   (4.9)

имеет смысл только, если  < 1. Это означает, что для достижения системой стационарного режима функционирования необходимо, чтобы интенсивность поступления клиентов в систему была строго меньше интенсивности обслуживания. Если , то вероятности р_n стационарных состояний не существуют.

Приведем расчетные формулы для функциональных характеристик СМО, используя общие формулы из п. 4.1.1. {На экзамене студенты должны приводить цепочку преобразований от общих формул к частным с обоснованием шагов}:

L_s = ; W_s = ; W_q = ; L_q = ; = . (4.10)

До данного момента анализа мы не фиксировали дисциплину очереди. Формулы (4.10) для средних значений функциональных характеристик справедливы при любой дисциплине.

Рассмотрим теперь вопрос о распределении, например, времени обслуживания клиента в системе. Здесь уже необходимо фиксировать дисциплину очереди. Рассмотрим дисциплину FCFS.

Пусть в системе уже находится n клиентов. Тогда время , которое проведет в системе вновь прибывший клиент (время обслуживания), будет определяться так:

 = t₁' + t₂ + … + t_n + t_n+1 , (4.11)

где t₁' – время, необходимое для завершения обслуживания клиента, который уже находится в канале обслуживания;

t₂, …, t_n  интервалы времени, необходимые для обслуживания n1 клиента;

t_n+1  время обслуживания только что прибывшего клиента.

Обозначим w( | n+1) – плотность вероятности для случайной величины  при условии, что на момент прибытия очередного клиента в системе уже есть n клиентов.

Поскольку время облуживания клиента в канале имеет экспоненциальное распределение, все величины из правой части (4.11), включая t₁' имеют экспоненциальное распределение с параметром . Следовательно, величина , определенная через (4.11), будет иметь гамма-распределение (учтена целочисленность одного из параметров – (n+1)):

w( | n+1) = .

Усредняя эти плотности вероятности по различным состояниям системы, получим:

w() = = , >0.

{Студенты должны самостоятельно проделывать вывод последней формулы}

Таким образом, время обслуживания клиента  также имеет экспоненциальное распределение с параметром _ож = (1  ), что строго соответствует полученной ранее формуле для среднего времени W_s обслуживания клиента в системе (см. (4.10)).