4. Некоторые типы систем массового обслуживания (для проведения имитационных экспериментов)

В данном разделе мы рассмотрим несколько видов простых систем массового обслуживания, которые полезно использовать для отработки "техники" имитационного моделирования и тестирования имитационных моделей.

Предполагается, что разработанная студентом имитационная модель в рамках самостоятельной работы №1 при некоторых значениях параметров должна содержательно совпадать с какой-то простой моделью массового обслуживания из числа рассмотренных ниже (с какой конкретно – выбирает студент при проектировании имитационной модели). Соответственно, критерием правильности имитационной модели должно быть совпадение расчетных значений некоторых показателей со значениями этих же показателей, точно оцениваемых в рамках модели массового обслуживания.

В основном мы рассмотрим простейшие стационарные пуассоновские модели (п.4.1), дополнительно – одну более сложную модель (п. 4.2)¹⁰.

Классификацию СМО будем проводить, пользуясь расширенными обозначениями Кендалла (a/b/c):(d/e/f) (см. п.1.2). Конкретные значения параметров а и b (типы входного и выходного потоков) будем обозначать так:

М – пуассоновский (марковский) поток. Это значит, что временные интервалы t_з между входными заявками и время обслуживания заявки t_о в одном канале обслуживания распределены экспоненциально;

D – интервалы t_з и t_о имеют фиксированные значения (детерминированы);

E_з – поток Эрланга k-го порядка. Это значит, что интервалы t_з и t_о имеют гамма-распределение;

GI – произвольный тип распределения интервалов t_з;

G – произвольный тип распределения интервалов t_о.

Для дисциплины очереди (параметр d) будем использовать следующие обозначения:

FCFS – первым пришел первым обслуживаешься;

LCFS – последним пришел первым обслуживаешься;

SIRO – случайный отбор клиентов;

GD – произвольный тип дисциплины.

4.1. Модели массового обслуживания с пуассоновскими потоками

4.1.1. Обобщенная стационарная модель смо

В рамках данной модели рассматривается только стационарный режим работы СМО, то есть предполагается, что система может выйти на стационарный режим.

Предполагается, что интервалы t_з и t_о имеют экспоненциальное распределение (а = М; b = М). При этом СМО рассматривается как единое целое – структура каналов и режимы их функционирования (в частности, дисциплина очереди) не раскрываются. Вместо этого, пользуясь допущением о стационарности и характеризуя состояния системы только одним параметром – числом n заявок в системе, введем следующие обобщенные характеристики:

р_n – вероятность того, что в системе находится ровно n заявок. Благодаря допущению о стационарности полную группу вероятности р₀, р₁,…, р_n, … р_ правомерно отнести к любому интервалу времени (в рамках стационарной части процесса обслуживания) и даже к бесконечно малому отрезку времени – к произвольной точке t.

_n – интенсивность поступления заявок в систему при условии, что в системе находится ровно n заявок;

_n – интенсивность выходного потока заявок при условии, что в системе находится ровно n заявок.¹¹

Предполагается, что в любой конкретной СМО, удовлетворяющей сформулированным выше допущениям, параметры _n и _n могут быть определены из каких-то содержательных соображений.

Целью теоретического анализа такой обобщенной модели СМО является установление функциональной зависимости вероятностей р_n от параметров _n и _n.

Для наглядности анализа приведем диаграмму переходов меду состояниями в рассматриваемой системе (рис.4.1.). На рисунке затененные кружки – это состояния системы; дуги, оснащенные интенсивностями, – возможные переходы в системе.

₀ ₁ _n1 _n

₁ ₂ _n _n+1

Рис.4.1.

Диаграмма отображает тот факт, что в силу пуассоновского характера процессов переходы возможны только между соседними состояниями (заявки появляются и исчезают только поодиночке).

При выполнении условий стационарности ожидаемые интенсивности входного (I_вх) и выходного (I_вых) потоков заявок, при условии, что система находится в фиксированном состоянии n, должны быть равны. Поскольку, в силу указанного характера процесса:

I_вх = _n1p_n1 + _n+1p_n+1 и I_вых = (_n + _n)p_n,

то, приравнивая указанные интенсивности, получим уравнение баланса:

_n1p_n1 + _n+1p_n+1 и I_вых = (_n + _n)p_n, n = 1, 2, … .

Для n=0 уравнение баланса будет иметь вид (см. диаграмму):

₀p₀ = ₁p₁.

Уравнения баланса решают рекуррентно, выражая вероятности p_n, n = 1, 2, … через вероятность p₀. Из последнего уравнения получаем:

.

Для n = 2 :

.

По индукции можно доказать, что:

. (4.1)

Значение p₀ можно определить из уравнения

. (4.2)

Соотношения (4.1) и (4.2) могут быть применены к любой конкретной СМО, удовлетворяющей сформулированным выше допущениям. Сами же вероятности p_n, n = 0, 1, … позволяют рассчитать все практически важные функциональные характеристики СМО. Укажем некоторые из таких характеристик:

L_s – среднее число находящихся в системе заявок (не забывайте, что речь идет об установившейся – стационарной фазе процесса);

L_q – среднее число заявок в очереди;

W_s – средняя продолжительность пребывания заявки в системе;

W_q – средняя продолжительность пребывания заявки в очереди;

– среднее количество занятых каналов.

Укажем на некоторые связи перечисленных характеристик с вероятностями p_n.

L_s = ; L_q = . (4.3)

Зависимость между L_s и W_s, а также между L_q и W_q задается, так называемыми, формулами Литтла:

L_s = _эффW_s; L_q = _эффW_q, (4.4)

где эффективная интенсивность _эфф поступления клиентов в систему может быть определена через исходную интенсивность  и другие параметры системы. Далее мы рассмотрим конкретные примеры. Здесь же отметим, что _эфф = , если все прибывающие заявки могут попасть в систему ("зал ожидания" не заполнен до предела), и _эфф <  в противном случае.

Если интенсивность обслуживания характеризовать одним параметром , то, учитывая, что 1/  это среднее время обслуживания заявки, получим соотношение:

W_s = W_q + 1/. (4.5)

Домножая последнее соотношение на _эфф и используя формулу Литтла, получим:

L_s = L_q + _эфф/. (4.6)

По определению разность между средним числом находящихся в системе заявок L_s и средним числом заявок в очереди L_q равна среднему числу занятых каналов, поэтому:

= L_s  L_q = _эфф/. (4.7)

Введенные выше понятия поясним на конкретном примере.

Пример. Автостоянка имеет пять мест. Время пребывания автомобиля на стоянке – случайная экспоненциально распределенная величина. Входной поток клиентов  пуассоновский. Дополнительно на стоянке есть еще три места для клиентов, ожидающих свободные места, если все основные места заняты. Предполагается:

• если на стоянке есть свободное основное место, то прибывающий клиент сразу занимает это место;

• если все основные места были заняты, а на дополнительных местах есть хотя бы один клиент, то он немедленно занимает освобождающееся основное место;

• если все основные места были заняты, но есть свободное дополнительное место, то прибывающий клиент, немедленно его занимает. Время пребывания клиента на дополнительном месте принципиально не ограничено (ограничено только тем, что он может перейти на основное место);

• если все основные и дополнительные места заняты, то прибывающий клиент не входит в систему и уезжает.

Пусть среднее время пребывания клиента на основном месте стоянки – 30 минут. Исходная интенсивность входного потока  = 6 автомобилей в час.

А н а л и з с и с т е м ы.

В системе с = 5 каналов обслуживания. Общая емкость системы – 8 мест, таким образом система может находиться в 9 состояниях: n = 0, 1, …, 8, где n – число автомобилей, находящихся в системе.

В соответствии с принятыми допущениями интенсивности входного потока:

_n = 6, n = 0, 1, …, 8.

Максимальная интенсивность обслуживания клиентов одним каналом  = 60/30 = 2 автомобиля в час.

Фактическая интенсивность _n обслуживания клиентов системой в целом (в данном случае лучше говорить об интенсивности выходного потока) определяется тем, сколько мест основных на стоянке занято

n

_n =

 = 2n автомобилей в час, n = 0, 1, …, 5;

5 = 10 автомобилей в час, n = 6, …, 8.

Таким образом, в данном случае мы имеем дело с ситуацией, когда интенсивность входного потока не зависит от состояния системы, а интенсивность выходного  зависит.

С учетом (4.1) и (4.2) можно определить вероятности отдельных состояний системы:

p₀3

р_n =

ⁿ/n! , n = 1, …, 5;

p₀3ⁿ/(5!5^n5), n = 6, …, 8;

p₀ = 0,04812.

Эффективную интенсивность _эфф поступления автомобилей на стоянку можно определит по схеме, иллюстрируемой рис.4.2.

Система

Источник  _эфф

клиентов

_потери

Рис. 4.2.

Приезжающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью _эфф или уехать с интенсивностью _потери. Поскольку прибывший автомобиль уезжает, если система находится в состоянии n = 8, то вероятность такого события равна p₈ = 0,02105 (см. формулы выше). Следовательно,

_потери = p₈ = 0,1263 автомобилей в час;

_эфф =   _потери = 5,8737 автомобилей в час.

Среднее количество автомобилей в системе в соответствии с (4.3):

L_s = 0p₀ + … + 8p₈ = 3,1286.

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в системе в соответствии с (4.4):

W_s = L_s/_эфф = 0,53265 часа.

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди (на дополнительном месте) в соответствии с (4.5):

W_q = W_s  1/ = 0,03265 часа.

Среднее количество занятых каналов в соответствии с (4.7):

= _эфф/. = 9,9368 мест.

Используя полученные результаты, рассмотрим различные частные случаи СМО.