
- •Методические материалы
- •1. Основы имитационного моделирования1
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Событийный подход к построению алгоритма модели
- •1.3. Подход сканирования активностей
- •1.4. Учет законов распределения случайных параметров
- •1.5. Возможные показатели, оцениваемые с помощью имитационной модели. Проверка гипотез
- •1.6. Схемы проведения имитационных экспериментов. Статистическая обработка результатов экспериментов
- •1.6.1. Метод повторений
- •1.6.2. Метод подынтервалов
- •1.6.3. Метод циклов
- •2. Пример построения блок-схемы имитационной модели
- •3. Способы понижения погрешностей выборочных оценок расчетных параметров
- •3.1. Дополняющие выборки
- •3.2. Общие потоки случайных чисел
- •3.3. Управляющие переменные
- •3.4. Стратифицированные выборки
- •3.5. Значимые выборки
- •4. Некоторые типы систем массового обслуживания (для проведения имитационных экспериментов)
- •4.1. Модели массового обслуживания с пуассоновскими потоками
- •4.1.1. Обобщенная стационарная модель смо
- •4.1.2. Модель смо (m/m/1):(gd//)
- •4.1.3. Модель смо (m/m/1):(gd/n/)
- •4.1.4. Модель смо (m/m/с):(gd//)
- •4.1.5. Модель смо (m/m/с):(gd/n/), cn
- •4.1.6. Модель смо (m/m/):(gd//)
- •4.1.7. Модель смо (m/m/r):(gd/k/k)
- •4.2. Модель смо (m/g/1):(gd//). Формула Поллачека-Хинчина
- •Приложение
- •Рекомендуемая литература
3.5. Значимые выборки
Данный метод чаще всего используется в тех случаях, когда рассчитываемый показатель исследуемой системы может быть представлен как определенный интеграл со сложной подынтегральной функцией и сложной областью интегрирования.
Пусть рассчитывается интеграл следующей структуры:
(19)
где g(x), f(x) – заданные функции;
Gx – область интегрирования.
Не обязательно, чтобы функции g(x), f(x) и область Gx были заданы явно, например, аналитически. Процедуры их определения могут быть очень сложными. Кроме того, в реальной задаче интеграл может быть k-кратным (то есть х – это вектор; dx = dx1…dxk).
В (19) функция f(x) может интерпретироваться как плотность вероятности. При необходимости ее нужно перенормировать:
,
(19а)
где
;
.
Тогда значение интеграла можно интерпретировать как среднее значение функции g(x) при заданном распределении случайной величины х:
.
В частном случае интеграл I действительно (изначально) может отображать среднее значение заданной функции g(x) наблюдаемой случайной переменной х, имеющей известную плотность распределения f(x).
Метод расчета интеграла с помощью имитационного эксперимента относят к классу методов имитационного моделирования, которые принято называть общим термином "метод Монте-Карло", или иначе – метод статистических испытаний. Можно указать две существенно различные схемы реализации метода.
Для простоты рассмотрим одномерный случай.
В первой схеме разыгрывают последовательность равномерно распределенных в области Gx случайных значений переменной х: х1, х2, …, хп. Несмещенная выборочная оценка интеграл в этом случае будет иметь вид:
,
(20)
где G – объем области интегрирования.
Наиболее "естественно" такая схема выглядит в случае, если просто интегрируется функция g(x) без весового коэффициента f(x). В этом случае в (20) сомножитель f(xi) исключается (равен 1).
Во второй схеме также разыгрывают последовательность случайных значений переменной х: х1, х2, …, хп, однако розыгрыш реализуют иначе – в предположении что случайная переменная х подчиняется распределению с плотностью распределения f(x) – см. п.1.3.
Несмещенная выборочная оценка интеграл в этом случае будет иметь вид:
(21)
Именно эта вторая схема и является реализацией метода значимых выборок.
Суть понятия "значимая выборка" заключается в том, что при определении последовательности значений х1, х2, …, хп мы выбираем эти значения не "на равных правах" (на основе равномерного распределения). Выбираются, по преимуществу, "более значимые (более вероятные)" значения – в смысле заданного распределения f(x).
Метод значимых выборок можно обобщить следующим образом.
Пусть необходимо рассчитать интеграл
.
(22)
Переопределим подынтегральную функцию следующим образом:
,
(23)
где f(x) специально подобранная функция, которую можно интерпретировать как плотность распределения, то есть:
;
g*(x) = g(x)/f(x).
Тем самым мы сводим задачу к предыдущей и можем реализовать схему метода значимых выборок, оперируя "искусственной" плотностью распределения f(x).
По определению
I = E[g*(x)].
и, следовательно,
(24)
Если подобрать плотность f(x) соответствующим образом, то можно значительно уменьшить дисперсию выборочного среднего (24). Действительно, учтем, что в имитационном эксперименте (24) наблюдаемой является величина g* = g/f, то есть частное от деления двух других случайных коррелированных величин (так как они зависят от общей случайной переменной x). Следовательно, если обеспечить положительную корреляцию величин g и f, то можно значительно понизить дисперсию величины g*. Не приводя точных расчетных формул, покажем это на грубых оценках.
Предположим, что отношение g/f конечно, то есть g1* g/f g2*. Тогда
Var[g*] (g2* g1*)24.
Следовательно, если функция f будет примерно пропорциональна g, разброс отношения g/f будет небольшим, то есть значения g1* и g2* будут близки. В пределе, если положить f = g/I, где I – истинное значение интеграла, получим g1* = g2* и, следовательно, Var[g*] = 0. Естественно, что такой предел недостижим, поскольку значение интеграла априори неизвестно, но можно констатировать, что в методе значимых выборок существует принципиальная возможность значительного уменьшения погрешности расчета интеграла.