Рациональные числа

§1. Определение рациональных чисел.

Определение:

Пара , если ad=bc

Теорема 1: Отношение « » таким образом, определенное является отношением эквивалентности.

Доказательство. 1) Рефлексивность:

2) Симметричность:

3) Транзитивность:

Свойство 1:

Доказательство: abc=bac

Следствие:

Доказательство: симметричность относительно « »

Определение: рациональными числами будем называть классы эквивалентности

Обозначения:

§2. Сложение и вычитание рациональных чисел.

Суммой рациональных чисел называется рациональное число

. (корректность определения) Сумма рациональных чисел не зависит от выбора пар, которые определяют слагаемые.

:

Надо доказать

+

(коммутативность сложения)

(ассоциативность сложения)

Множество рациональных чисел имеет нейтральный элемент относительно сложения: :

По коммутативности обратное утверждение доказывается аналогично.

. Противоположным относительно сложения для элементов является число

Доказательство:

Следствие: абелева группа

Определение: число будет называться разностью чисел если

Обозначения:

Теорема 6. рациональное число

Доказательство:

§ 3 Умножение и деление натуральных чисел

Определение:

Теорема 1: определение произведения рациональных чисел корректно.

Док-во:

Нужно доказать:

• 

• 

.

Теорема 2: умножение рациональных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.

Док-во:

1. ?

умножение целых чисел коммутативно

2. 

3. 

4. .

Утверждение 1: рациональное число : является нейтральным элементом относительно умножения в мн-ве Q.

Утверждение 2: для любого рационального числа : обратным является число :

Следствие: поле

§4. Порядок в поле рациональных чисел

Утверждение 1. Произвольное рациональное число является классом пары, где а , в  .

Доказательство: (а, в)(а(-1), в(-1))=(-а, -в). 

Поэтому дальше будем использовать пары только с положительным вторым элементом.

Определение 1: Пусть =[(а, в)], =[(с, d)] Q. Будем говорить > если ad>bc.

Теорема 1: Определение 1 корректно.

Теорема 2:  , Q могут находиться только в одном соотношении: >  =  <.

Теорема 3: Отношение «≥» является отношением порядка на Q.

§5. Вложение кольца  в поле q.

Определение: Q_:= {=(а,1)/а} Элементы этого множества будем называть целыми рациональными числами.

Свойство 1: [(с, d)] Q_  с d.

Доказательство: () (а, 1)(с, d) ad=cc d

()c d (c, d)(k,1). 

Свойство 2: f:  Q_ : a [(a,1)] ( )

f – гомоморфизм колец.

Доказательство: Q_ - кольцо, f(a+в)=f(a)+f(в), f(ав)=f(a)f(в). 

Свойство 3: Гомоморфизм f – биекция.

Следствие:  Q_ изоморфные кольца.

Свойство 4: Гомоморфизм f сохраняет порядок: а, в   а>вf(a)>f(в)

Доказательство: f(a)=[(a,1)], f(в)=[(в,1)], a*1>в*1, т.к. a>в. 

Следствие: На основе изоморфизма ( ), который сохраняет операции сложения, умножения и отношение порядка, можно отождествить каждое целое число а с целым рациональным числом [(а, 1)], таким образом кольцо целых чисел  является подкольцом поля Q рациональных чисел.

Свойство 5: Произвольное рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Доказательство: =[(а, в)]  а, в 0. [(а, 1)]  [(1, в)] = [(а, 1)]  [(в, 1)] = . 

Теорема: Поле рациональных чисел является наименьшим полем, которое содержит кольцо целых чисел.

Доказательство: По свойству 5 каждое рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Пусть Р – подполе поля Q которое содержит .

Р – поле, поэтому содержит результаты всевозможных сумм, вычитаний и делений своих элементов, в том числе и целых чисел, поэтому Р содержит всевозможные частные целых чисел, но каждое рациональное число Q и есть частное 2-х целых чисел, поэтому Q<P или Q=P. 