1.5. Вычитание и деление натуральных чисел
Натуральное число с (если оно сущ) наз. разностью чисел а и в, если а = в + с.
Теорема
1 .
1)
2) если разность существует, то она определена единственным образом.
Док-ство. 1)
(<=)
пусть
.
2)
пусть
Теорема 2.
1)
и
и
=>
2) =>
Док-ство:
1)
a>b =>
a>c
=>
b>c
=>
2)
пусть
=>
=>
?! =>
Следствие1 Свойства справедливы для строгих и нестрогих неравенств.
Свойство
1)
и
и
=>
2)
Частным
чисел a
и b
называется такое число с, если оно
существует, что
,
абозн
.
Замечание. Разность и частное не являются бинарными алгебраическими операциями.
Пример: 1-2 не принадлежит N
не
принадлежит N/
Замечание.
Частное
чисел а и в есть решение уравнения
Число
a
кратно числу b,
если существует такое число k,
что
.
Теорема 3. Если частное a и b существует то оно единственно
Док-ство.
Пусть
.
Свойство.
Док-ство.
Теорема
4 .
1)
2)
Док-ство.
1)
2)
k>n, b>c
bk>cn ?!
k=n b>c
bk>cn ?!
k<n b>c дано.
Теорема 5(свойства сложения)
Если существует соответственно разность чисел а,в,с,d из N, то выполняется следующие равенства:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Док-ство.
Проверим, подойдет ли вместо x правая часть равенства.
5)
8)
Теорема 6 (свойства деления и умножения)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Следствие. Если существуют соответствующие разности то:
1)
2)
Док-ство.
, 
.
1.6 Сумма и произведение нескольких натуральных чисел
Опред.(индуктивное)Пусть
,
тогда сумма натуральных чисел
a1,a2,…,a
n
определяется
индуктивно следующим образом:
Если сумма определена для k натуральных чисел и k<n, то
.
Замечание! Если все слагаемые в определении равны a, то получим определение n-кратного числа a. Обозначается: na=a+a+…+a.
Опред. (индуктивное) Пусть , тогда произведение натуральных чисел
a1,a2,…,a
n
определяется
индуктивно следующим образом:
Если сумма определена для k натуральных чисел и k<n, то
.
Замечание! Сумма и произведение нескольких натуральных чисел не зависят от того, как поставить скобки, а так же от того, в каком порядке записать слагаемые (сомножители).
Теорема. 1)
(
2)
(
Док-во: 1) ММИ по n
n=2
…
n=k
(
– верно
n=k+1
(
.
2) ММИ по m
m=1
(
…
m=k ( – верно
m=k+1 ( .
Свойство:
.
Док-во: ММИ (n)
n=1 1a=1·a=a·1=a
…
n=k ka=k·a– верно
n=k+1 (k+1)a=(k+1)·a
Следствие:
(m+n)a=ma+na
(mn)a=m(na)
ma·nb=(mn)(a·b)
(m-n)a=ma-na (если разность сущест-ет)
m(a+b)=ma+mb
m(a-b)ma-mb
Док-во:1) ma+na=m·a+n·a=(m+n)·a=(m+n)a
Остальные свойства очевидны.
Свойство:
(если
m>n)
mm
nm
