1.1. Натуральные числа. Аксиомы Пеано и их независимость. Принцип полной мат. Индукции

Опред.: Числовая система – это числовое множество на котором заданы некоторые операции и отношения.

Сначала определяется аксиоматическая система натуральных чисел (N), на ее основе строится система целых чисел (Z), а затем система рациональных чисел (Q).

Опред.: Множеством натуральных чисел называется непустое множество N для элементов которого определено отношение «непосредственно следует за» (число которое непосредственно следует за а обозначается а’), которое удовлетворяет следующим условиям:

1. (существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом)

2. (для каждого натурального числа )

3. (каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом)

4. : (множество M содержит все натуральные числа)

Аксиомы называются аксиомами Пеано.

Замечание: Из аксиомы (аксиомы индукции) следует законность доказательств методом мат. индукции, при этом аксиома индукции применяется в следующем виде:

Теорема (принцип полной мат. индукции): Утверждение Т(n), n верно :

1. T(1) – истина

2. 

Доказательство:

значит, по аксиоме индукции M=N .

Замечание: Доказательство на основании принципа полной математической индукции называется доказательство методом полной индукции. Докажем индукцией по .

База индукции: – истина

Предположение индукции:

Шаг индукции: T(n)→T( ) (следует ли из T(n) T( ) )

Пример: Доказать методом полной мат. индукции, что сумма n первых нечетных натуральных чисел равно

T(n): 1+3+…+(2n-1)=

1. T(1):

2. 

1. Независимость

1 → 2

3

2. Независимость

3→5→….

1→2

4→6→….

3. Независимость

1→2→3

4

4. Независимость

1→3→5→…..

2→4→6→….

1.2. Сложение натуральных чисел и его свойства

Определение: Сложением на мн-ве N чисел назыв бинарная алгебраическая операция,

f:NxN→N (a,b)→a+b (обознач (+), а результат называется суммой), которая удовл. следующим условиям:

Определение: Сложением натуральных чисел называется функция f:NxN→N (a,b)→a+b

При фиксированном числе a ф-ция f определяет ф-цию f_a:N→N:b→a+b, которая удовлетворяет слуд условиям:

Теорема 1: сложение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.

Д-во: единственность. Достаточно доказать, что функция f_a, которая удовлетворяет условиям 1 и 2 определена единственным образом.

Пусть существует еще одна функция g_a:N→N:b→a+b, которая удовлетворяет условиям:

(3) (4)

Докажем, что . ММИ (b):

База b=1

Пусть . Докажем :

=

Существование. Докажем: , к-ая удовл ус. 1, 2 ММИ(а)

а=1

Докажем что

f_a:N→N:b→a+b удовлетворяет условиям 1 и 2

(5) (6)

Определим функцию:

Теорема 2 (закон ассоциативности сложения):

Доказательство: выберем a и b произвольным образом и зафиксируем их. Докажем теорему ММИ по :

Теорема3 (закон коммутативности сложения):

Доказательство: мми по а, b фиксированное, произвольное.

,

Теорема4 (свойство о сокращении):

Доказательство: fix a и b. ММИ по с: :

,