3.3. Приближение Буссинеска в задачах свободной тепловой конвекции

Свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев. Уравнение Навье – Стокса в форме (3.22) получено без учета зависимости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры.

Рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Буссинеска:

. (3.34)

Входящая в это уравнение плотность принимается в соответствии с уравнением состояния линейно зависящей от температуры

, (3.35)

где β, [1/К] – коэффициент теплового (объемного) расширения. После подстановки зависимости (3.35) в уравнение (3.34) получаем

. (3.36)

Так как ускорение свободного падения значительно больше ускорения частиц жидкости при свободной конвекции ( ), то изменением плотности в левой части уравнения (3.36) можно пренебречь по сравнению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем

или, после деления на плотность ρ₀

. (3.37)

Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска. В общем трехмерном случае для вектора скорости уравнение движения в этом приближении принимает вид

. (3.38)

3.4. Постановка задачи тепловой конвекции в динамических переменных

Постановкой задачи называется система уравнений переноса, замкнутая условиями однозначности.

Постановку краевой задачи тепловой конвекции рассмотрим на примере плоского движения несжимаемой вязкой жидкости с постоянными свойствами в горизонтальном канале прямоугольного сечения (рис. 3.11). Боковые стенки канала приняты изотермическими с температурами t₁ и t₂ (t₁ > t₂), верхняя и нижняя стенки – адиабатными. Вязкая среда, нагреваясь у левой стенки, поднимается вследствие уменьшения плотности вверх и опускается соответственно вниз при охлаждении у правой стенки. Образуется замкнутый контур циркуляции жидкости с пограничными слоями у стенок канала.

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравнение несжимаемости для компонент вектора скорости u и v соответственно в проекциях на оси x и y в плоскости циркуляции жидкости принимает вид

. (3.39)

Уравнение переноса тепловой энергии

, (3.40)

где оператор Лапласа в правой части уравнения имеет вид

. (3.41)

Запишем уравнения движения вязкой среды в приближении Буссинеска соответственно в проекциях на оси x и y

, (3.42)

. (3.43)

Уравнение, описывающее распределение давления, можно получить, сложив уравнения движения (3.42) и (3.43), первое из которых предварительно продифференцировав по x, а второе – по y. После преобразований получим уравнение Пуассона для давления

. (3.44)

Для замыкания системы дифференциальных уравнений запишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоростей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипания для скоростей

(3.45)

Пять дифференциальных уравнений (3.39, 3.40, 3.42, 3.43 и 3.44) вместе с краевыми условиями (3.45) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.44). Переменные u–v–p–Т называют динамическими переменными, а соответствующую краевую задачу – задачей в динамических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская задача тепловой конвекции сводится к системе пяти дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.