3. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение

, (, ,  ) D

из D в V, где области D и V кубируемы. Тогда объема области V справедлива формула

 V = (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

= V = = D.

Откуда следует, что в любой точке области M₀=(₀ ,₀ ,₀ )

=.

Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Выберем какое-либо разбиение {D_j} области D и обозначим через {V_j} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

 V_j = = D_j.

Полученные таким образом точки M_j = (_j , _j , _j ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм для разбиения {D_j}, а соответствующие точки P_j = (x_j , y_j , z_j ) для интегральных сумм для разбиения {V_j}. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

, x²+y²=z², 0  z  1

, |I| = r.

В этом случае D = {(r,,h): 0    2 , 0  r  z ,  z[0,1]} .

== ===.

Пример 2. Сферические координаты

A=, x²+y²+z²  1, 0  x , 0  y , 0  z .

, |I| = ²cos .

A=

4. Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

( кратко x=x(u) )

из области D в область V. При измеримости областей D , V справедлива формула замены переменных

=,

существовании интегралов предполагается.

математический анализ. 3 семестр. Логинов А.С. 2005 г. loginov_1999@mail.ru 12