8.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Ряд задач ТВ связан с экспериментом, в кот. проводятся последовательные независимые испытания. Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осущ-ия
любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.
Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» (1- p = q) в каждом испытании (схема испытаний Бернулли)
Вероятность получить ровно m успехов в n независ.испытаниях вычисляется по формуле Бернулли
Д
ок-во
Пусть Ai и Ai– соответственно появление и непоявление события A в i -м испытании (i =1,2,...,n ), а Bm– событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие A появилось m раз. Представим событие Bm через элементарные события Ai .
Например, при n = 3, m = 2 событие
В
общем виде:
В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей получим
9.Найвероятнейшее число появления события
Число наступлений события А назыв. наивероятнейшим, если оно имеет наиб-ую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.
Наивероятнейшее число m0 наступлений события А в n испытаниях заключено в интервале np - q m0 np + p .
Если np - q -целое число, то наивероятнейших числа два
np - q и np + p
П
редельные
теоремы для схемы Бернулли
Теорема (Пуассона). Предположим, что произведение np явл. постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим = np . Тогда для любого фиксированного m и любого постоянного :
С
ледствие.
В
случае,
когда
n
велико,
а
р мало (
p
<
0,1;npq
9)
вместо
формулы Бернулли применяют
приближенную
формулу Пуассона
Т
еорема
(Муавра-Лапласа
(локальная)).
Если
вероятность наступ-ия соб. А в каждом
из n
независ. испытаниях равна р и отлична
от 0 и 1, а число испытаний достаточно
велико, то вероятность Pm,n
того,
что в n
испытаниях
соб. А наступит m
раз,
приближенно равна (чем больше n,
тем
т
очнее)
Теорема (Муавра-Лапласа (интегральная)).
Если вероятность наступ-ия соб/ А в каждом из n независ. испытаниях равна р и отлична от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов mнаходится между m1 и m2 приближенно равна (чембольше n, тем точнее)
10.Понятие дискретной случайной величины и её закона распределения. Многоугольник распределения. Примеры
Случайной (СВ)назыв. величину, к-ая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее нельзя учесть.
Дискретной (ДСВ)назыв. случайную величину, к-ая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений ДСВ м.б. конечным или бескон.
(счетным)
Наиб.полным,исчерпывающим описанием СВ явл.ее з-н распр-ия
Законом распределения СВ – всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и
вероятностями, с которыми она принимает эти значения.
ДСВ м.быть задана рядом распределения – это таблица, в к-ой
перечислены все возможные значения ДСВ и соответствующие им вероятности.
События X = x1, X = x2 ,…, Xn = xn образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: p1 + p2 + p3 + pn = 1 … .
Ряд распределения ДСВ м. изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонт. оси в выбранном масштабе нужно отложить значения СВ, а по вертик. вероятности этих значений. Тогда точки с координатами (xi, pi ) будут изображать полигон
распределения вероятностей, соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.