Более строгое представление о нечетких множествах

Пусть E — универсальное (universal) или несущее множество, x — элемент E, а K — некоторое свойство. Определим для несущего множества E обычное (четкое) подмножество A, элементы которого удовлетворяют свойству R, как множество упорядоченных пар

где — характеристическая функция, принимающая значение 1, если элемент x удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из множества E нет однозначного ответа «да—нет» относительно свойства K. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар с характеристической функцией принадлежности. принимающей значения в некотором вполне упорядоченном множестве M, например,

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называется множеством принадлежности. Если , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пример

3. Пусть имеется обычное множество

и пусть задано A — нечеткое множество, для которого

Тогда нечеткое множество A можно представить в виде

или

где знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть и A — нечеткое множество с элементами из универсального (несущего) множества E и множеством принадлежности M.

Тогда высотой нечеткого множества называется верхняя граница значений его функции принадлежности:

Нормальным называется нечеткое множество, высота которого равна

1. Если высота меньше 1, нечеткое множество называется субнормальным.

Говорят, что нечеткое множество пусто, если .

Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

.

Нечеткое множество является унимодальным, если только на одном элементе x из универсального множества E.

Носителем нечеткого множества A (обозначается как supp A) является обычное подмножество со свойством , т. е. supp

Элементы , для которых , называются точками пере­хода множества A.

Примеры нечетких множеств и их характеристик

Рассмотрим примеры нечетких множеств.

Примеры

4. Пусть Нечеткое множество «несколько» можно определить следующим образом:

Его точки перехода - .

5. Пусть и это множество соответствует понятию «возраст». Тогда нечеткое множество «молодой» может быть определено с помощью функции принадлежности

Нечеткое множество «молодой» на универсальном множестве = {Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции принадлежности на (возраст), называемой по отношению к E функцией совместимости. При этом

,

где х — возраст Сидорова.

Для каждого величина интерпретируется как степень принадлежности элемента х нечеткому множеству А. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение — степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

6 . Пусть Е = {Запорожец, Жигули, Мерседес, ...} — множество марок ав­томобилей, а — универсальное множество «стоимость», тогда на мы можем определить нечеткие множества с помощью функций принадлежности, графики которых изображены на рис. 5.3. Имея эти функции и зная сто­имости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым

Рис. 3. - Графики функций принадлежности нечетких множеств из примера 6.

определим на нечеткие множества «для бедных», «для среднего класса», «престижные».

Т ак, нечеткое множество «для бедных», заданное на универсальном множестве Е, показано на рис. 5.4.

Рис. 4. - График функции принадлежности нечеткого множества «для бедных»

Аналогично можно определить нечеткие множества «скоростные», «средние», «тихоходные» и т. д.

В рассмотренных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение либо определяет функции совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т. д. Например, для конкретного лица A эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает формируя векторную функцию принадлежности

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каж­дый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый». Тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение для данного лица.