Нечеткие множества

Самым главным понятием систем, основанных на нечеткой логике, является понятие нечеткого множества (НМ).

Из классической математики известно понятие четких (определенных) множеств.

Множество A — четкое множество, если A — часть некоторого универсального для данной прикладной задачи множества V, харктеризующегося следующими условиями:

- все элементы множества четко различимы между собой, в множестве нет повторяющихся элементов, нескольких экземпляров некоторых элементов;

- относительно каждого элемента можно четко определить, принадлежит ли он данному множеству или нет.

Эти условия позволяют характеризовать четкое множество его характеристической функцией, заданной на универсальном множестве V и принимащей значения в множестве {0, 1}:

Примеры

1. Рассмотрим множество U всех действительных чисел от 0 до 10, которое назовем универсальным. Определим подмножество A множества U всех действительных чисел от 5 до 8:

Рис. 1 - Характеристическая функция множества А

Рассмотрим характеристическую функцию множества A, эта функция ставит в соответствие число 1 или 0 каждому элементу из II в зависимости от того, принадлежит данный элемент подмножеству A или нет. Ее график представлен на рис. 1.

Элементы, которым поставлено в соответствие число 1, можно интерпретировать как элементы, принадлежащие множеству A, а элементы, которым поставлено в соответствие число 0, как элементы, не принаде-жащие множеству A.

Эта концепция используется во многих областях приложений. Но можно легко обнаружить ситуации, в которых данной концепции будет недоставать гибкости.

2. В данном примере опишем множество молодых людей, которое формально можно записать так:

Так как вообще возраст начинается с 0, то нижний предел этого множества должен быть нулем. Верхний предел определить немного сложнее. На первый раз установим верхний предел, скажем, равным 20 годам. Таким образом, получаем B как четко ограниченный интервал, буквально:

.

Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей — молодой, а сразу на следующий день уже не молодой? Очевидно, это структурная проблема, и если передвинуть верхнюю границу в произвольную точку, то можно задаться точно таким же вопросом.

Более естественный путь получения множества В состоит в ослаблении строгого разделения на молодых и не молодых. Сделаем это, вынося не только (четкие) суждения «Да, он/она принадлежит множеству молодых людей» или «Нет, он/она не принадлежит множеству молодых людей», но и более гибкие формулировки: «Да, он/она принадлежит к достаточно молодым людям» или «Нет, он/она не очень молод/молода».

Далее рассмотрим, как с помощью нечеткого множества определить такое выражение, как «он/она еще молод/молода».

В первом примере мы кодировали все элементы универсума рассуждения с помощью чисел 0 или 1. Простой способ обобщить данную концепцию — ввести значения между 0 и 1. Реально можно даже допустить бесконечное число значений между 0 и 1, называемое единичным интервалом

Рис. 2. Характеристическая функция множества молодых людей

Интерпретация чисел при соотнесении всех элементов универсума рассуждений становится теперь более сложной. Конечно, снова число 1 ставится в соответствие (соотносится) тому элементу, который принадлежит множеству B, а 0 означает, что элемент точно не принадлежит множеству B. Все другие значения определяют степень принадлежности ко множеству B.

Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей, как и в первом примере (рис. 2). Согласно ее графику, 25-летние все еще молоды со степенью уверенности 50 процентов.