Билет№2 Операции над множествами. Их свойства. Иллюстрация свойств операций над множествами на диаграммах Венна. Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих. перации над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

О пределение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В .

 

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В . Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В.

 

О пределение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В.

 

О пределение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А .

  Свойства операций над множествами

Билет№3

Понятие числовой функции в общем случае, пример. Понятие функции одной переменной, ее области определения. Примеры. Общее понятие функции: Пусть даны два множества А и В, функцией из множества А в множестве В называется всякое соответствие, при котором каждому элементу из А сопоставляется один, однозначно определенный, элемент из В. f: А→В, где А-обл. определения, В – обл. «прибытия» х принадлежит А y= f(x) принадлежит B

Понятие числовой функции: Если область «прибытия» является числовым множеством, то функция называется числовой.

Пример: (те же примеры что и при функции одной переменной) Понятие функции одной переменной,ее области определения Если область «прибытия» и область определения функции являются числовыми множествами, то эта числовая функция является функцией одной переменной. Множество  называют областью определения функции   . Говорят также, что задана независимая переменная , которая может принимать частные значения  из множества , и каждому  в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное значение другой переменной   , называемой функцией или зависимой переменной.

Пример областями определения приведенных функций являются соответственно:

1. отрезок ; 2) множество ; 3) вся действительная ось; 4) вся действительная ось, из которой исключена точка   ; 5) отрезок .

2. Билет №4

График функции одной переменной : Пусть   - множество чисел и пусть каждому числу   из   приведено в соответствие  одно число  , тогда говорят, что на    задана функция, которую записывают так:

Свойство: Функцией из множества А в множество В называется всякое соответствие, при котором каждому элементу из А сопоставляется один, однозначно определенный элемент из В.

Пример: f(x) = отец x – однозначно =>  это функция

F(n) = наибольший натуральный делитель n – однозначно => функция

Хчел : f(x) = знакомый x неоднозначно =>  это не функция

Нормальные примеры: y=kx+b ; y=x^2n ; y= sin x, y=a^x

                     

Билет№5

Свойство ограниченности f-ции одн.переменной:

Число A принадлежит R называется пределом функции f(x) в точке a или при x ->a и это обозначается следующим образом оlimx-> af(x) = A, если Для любого ε > 0 существует δ (ε) > 0: для любого x: 0 < |x-a| < δ, =>|f(x)-a| < ε

Cвойство ограниченности графически означает, что если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т ; если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М .

Примером функции, определенной и возрастающей на всей числовой прямой, являющейся при этом ограниченной можно считать функцию y=a^x.

Монотонная функция:

Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

Ее св-ва:

 1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn тоже возрастает (n ∈ N).

5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает (c – некоторая константа).