5 Разработка математической модели и решение задачи оптимального плана выпуска продукции мебельным цехом лесоперерабатывающего предприятия

Имеется предприятие - мебельная фабрика, с определённым запасом материалов на складе, и перечень продукции. Необходимо определить выпуск, какой продукции наиболее выгоден для данного предприятия.

По заданным размерам определяем потребность единицы продукции в пиломатериалах. По результатам строим матрицу.

Например, Стол журнальный:

Доска 40х120 в количестве 5 шт., тогда общая длина составит l=5 1,2=6 м.

Брус 40х40 в количестве 4 шт., тогда общая длина составит l=4 0,61=2,44 м.

Брус 30х30 в количестве 4 шт., тогда l=4 0,920=3,68 м.

И т.д.

Таблица - Виды, нормы расхода и запасы ресурсов

Виды сырья	Размеры	Типы продукции				Запасы ресурсов
		Стол журнальный	Табуретка	Тумбочка	Комод
Д40.3	40х120	6				300
Б40	40х40	2,44				700
Б30	30х30	3,68				900
Д15.1	15x100		0,625			600
Б35	35x35		1,98			800
Б20	20x20		0,62			500
Д25.1	25x100	2,4		27,3		500
ДВП				0,91	1,332	250
Д10.1	10x100			9,15	11,97	1100
Д30.1	30x120				18,16	200
Б50	50x50				2,4	500
Прибыль		900	500	1100	850

Математическая модель задачи принимает вид:

6 Разработка математической модели и решение транспортной задачи оптимального плана поставки лесоматериалов в плотах с плотостоянок поставщика на рейды лесозаводов

Метод потенциалов наиболее эффективен при решении транспортных задач. Суть метода заключается в последовательном анализе вариантов связей поставщиков и потребителей до выхода на оптимальный вариант.

Реализацию метода рассмотрим на примере организации поставки древесины флотом лесосплавного предприятия с четырех плотостоянок семи лесозаводам. Схема расположения на рейде плотостоянок и лесозаводов приведена на рисунке .

Запасы древесины на лесостоянках и потребности заводов в древесине приведены в таблицах и .

Таблица - Запасы древесины на лесостоянках

Номер лесостоянки.	1	2	3	4
Запас древесины, м3	23000	27000	23000	7000

Таблица - Потребности заводов в древесине.

Номер лесозавода	1	2	3	4	5	6	7
Потребность в древесине, м3	18000	9000	8000	19000	12000	8000	9000

Суммарный запас на плотостоянках равен 80000 . Суммарная потребность лесозаводов в древесине равна 83000 .

Расстояние от каждой плотостоянки до каждого лесозавода определяем по схеме рейда. Удельная себестоимость в рублях на 1 одного древесины составляет 9 руб./км. Расстояние от плотостоянок до лесозаводов и себестоимость древесины приведены в таблице .

Таблица - Расстояние и себестоимость транспортировки древесины

Номер маршрута	Номер плотостоянки	Номер лесозавода	Длина, км	Себестоимость в рублях
1	1	1	10,2	91,8
2	1	2	9,1	81,9
3	1	3	7,5	67,5
4	1	4	3,3	29,7
5	1	5	10,5	94,5
6	1	6	8,5	76,5
7	1	7	3,5	31,5
8	2	1	8,4	75,6
9	2	2	11,3	101,7
10	2	3	9,2	82,8
11	2	4	6,4	57,6
12	2	5	8,1	72,9
13	2	6	4,5	40,5
14	2	7	4,0	36,0
15	3	1	4,2	37,8
16	3	2	3,3	29,7
17	3	3	2,1	18,9
18	3	4	3,5	31,5
19	3	5	8,2	73,8
20	3	6	9,0	63,0
21	3	7	5,1	45,9
22	4	1	10,2	91,8
23	4	2	10,0	90,0
24	4	3	8,3	74,7
25	4	4	4,5	40,5
26	4	5	10,1	90,9
27	4	6	7,2	64,8
28	4	7	3,1	27,9

Метод потенциалов применим только к закрытым транспортным задачам, т. е. когда объем древесины на плотостоянках равен потребности лесозаводов. Для обеспечения этого требования считаем, что на рейде имеется еще одна плотостоянка с фиктивным объемом, равным разнице между потребностью лесозаводов и запасам древесины на плотостоянках. Эта разница равна 3000 . При решении задачи необходимо определить с каких плотостоянок на какие лесозаводы и в каких объемах необходимо поставить древесину для того, чтобы были обеспеченны минимальные суммарные затраты на перевозку.

В начале решения задачи составляем матрицу. В правый верхний угол каждой клетки записываем значение себестоимости, а внизу заносим значение объема поставки, распределенного по так называемому правилу северо-западного угла. После составления матрицы определяем потенциалы плотостоянок и . Для чего принимаем потенциал первой плотостоянки равным нулю и записываем в верхний правый угол матрицы. Потенциалы остальных лесозаводов определяем через базисные клетки по зависимости:

Затем, в левые верхние углы небазисных клеток вносим их потенциалы, определенные по зависимости:

Решение задачи является оптимальным только в том случае, если во всех клетках выполняется условие:

Если условие не выполняется, то на базе клетки с наибольшей разностью потенциалов строится цикл перераспределения объемов поставки. При построении цикла должны соблюдаться следующие основные правила. Во-первых, вершины цикла располагаются в клетках, из которых, только одна может быть небазисной. Во-вторых, на каждом шаге цикла делается поворот на . Вершины цикла при этом отмечаются последовательно положительными и отрицательными знаками. При реализации цикла наименьший объем из отрицательных вершин переносится в положительные.

Как видно из последнего плана во всех клетках выполняется условие:

П_i,j C_i,j. Следовательно, данный план оптимален. Таким образом, с 1-ой плотостоянки на 3-й лесозавод перевозим 2 тыс. древесины; с 1-ой плотостоянки на 4-й лесозавод – 19 тыс ; с 1-ой на 7-й – 2 тыс. ; со 2-ой плотостоянки на 1-й лесозавод - 7 тыс. ; со 2-ой плотостоянки на 5-й лесозавод - 12 тыс. ; со 2-ой плотостоянки на 6-й лесозавод - 8 тыс. ; с 3-ей плотостоянки на 1-й лесозавод - 8 тыс. ; с 3-ей плотостоянки на 2-й лесозавод - 9 тыс. ; с 3-ей плотостоянки на 3-ий лесозавод - 6 тыс. ; с 4-ой плотостоянки на 7-ой лесозавод - 7 тыс. ; с 5-ой плотостоянки на 1-ый лесозавод 3 тыс. . По сравнению с первой матрицей, затраты на транспортировку снизились на тыс. рублей.

Результаты расчетов проверяем на ЭВМ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Митрофанов А. А., Камусин А. А. Моделирование и оптимизация процессов лесопромышленных производств: Учебное пособие. – Архангельск: Изд-во Арханг. гос. техн. ун – та, 2003.-118 с.

2. Ширшов С. И. Моделирование процессов лесозаготовок на ЭВМ: Методические указания к выполнению лабораторных работ.- Архангельск: РИО АЛТИ, 1989. - 28 с.

3. Митрофанов А. А. Якоря на лесосплаве: Методические указания к лаьораторным работам.- Архангельск: РИО АЛТИ, 1988.- 25 с.