4 Решение задачи оптимизации симплексным методом
В отличие от геометрического симплексный метод универсален. Используя этот метод, можно решить любую задачу линейного программирования, при условии, что система ограничений совместна. Ограничения могут быть связаны только с возможностями ЭВМ.
Суть метода заключается в том, что любой задаче линейного программирования соответствует область определения с конечным числом угловых точек, и, следовательно, базисных решений. Одно из базисных решений является оптимальным. По симплексному методу в определенной последовательности анализируются базисные решения до выхода на оптимальный результат. Базисным называется такое решение, когда часть переменных, равных числу уравнений, принимается за основные, а остальные переменные приравниваются к нулю.
Решение задачи симплексным методом включает два этапа. На первом находят допустимое базисное решение или выявляют несовместность системы уравнений. А на втором этапе для совместных систем находят оптимальное решение. Каждый этап при этом может включать несколько шагов. Но так как число базисных решений ограничено, то число шагов конечно.
Решим симплексным методом простейшую задачу оптимального плана выпуска продукции.
Номер варианта |
Виды ресурсов |
Виды продукции |
Запасы ресурсов |
||||
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
|
|||
23 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2100 |
|
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2200 |
||
3 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2400 |
||
Прибыль |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
|
Таблица - Исходные данные:
Цель задачи – определить оптимальный план выпуска продукции ( Х1, Х2, Х3, Х4 ), при котором прибыль максимальна.
Математическая модель задачи принимает вид:
2Х1
+ 2Х2
+1Х3
+2Х4
≤ 2100
3Х1 + 1Х2 +1Х3+ 3Х4 ≤ 2200
3Х1 + 3Х2 + 2Х3 + 3Х4 ≤ 2400
Целевая функция: F = 3Х1 + 4Х2 + 2Х3 + 1Х4
Для решения задачи систему неравенств превратим в систему линейных уравнений, для чего введем новые переменные Х5, Х6, Х7.
2Х1
+ 2Х2
+3Х3
+Х4
+X5=
1900
Х1 + 3Х2 +2Х3+ 2Х4 +X6= 1300
4Х1 + 3Х2 + 2Х3 + 4Х4 +X7=1800
Так как система состоит из трех уравнений с семью неизвестными, то число основных переменных равно трем, а не основных – четырем.
Нулевой шаг: на этом этапе необходимо найти любое базисное решение. Принимаем за основные переменные Х5, Х6, Х7, а не основные Х1, Х2, Х3, Х4 приравниваем к нулю.
Х5 =2100 - 2Х1 -2Х2 -Х3 -2Х4
Х6 = 2200-3Х1- Х2 - Х3-3Х4
Х7 =2400-3Х1-3Х2-2Х3-3Х4
F = 31 + 4Х2 + 2Х3 + 1Х4
Получили базисное решение (Х1 = 0, Х2 = 0, Х3 =0 , Х4 = 0, Х5 = 2100, Х6 = 2200, Х7=2400). Решение является допустимым, так как все переменные положительны, поэтому проверяем его на оптимальность. Решение не оптимально, так как в выражении целевой функции есть коэффициенты с положительными знаками, предприятие ничего не выпускает, поэтому прибыль равна нулю.
При переходе к следующему базисному решению одну из не основных переменных, с наибольшим положительным коэффициентом, переводим в основные переменные, а одну из основных (ту которая первая обращается в нуль, при вводе новой основной переменной) в не основные.
Первый шаг:
Х5 = 0, если Х2 = 1050;
Х6 = 0, если Х2 = 2200;
Х7 = 0, если Х2 = 450.
Следовательно, наименьшее Х2 переводим в основные переменные, а Х7 в не основные.
Х2
= 800 - X1
-
Х3
-
Х4
-
Х7
Х5= 500 – 2x1 + x3 + x7
Х6
= 1400 -2 Х1
–
Х3
-
2Х4
+
Х7
F = 3200 –Х1 - x3 – 3x4 - x7.
Получили базисное решение (Х1 =0; Х2=800; Х3=0; Х4=0;Х5 =500; Х6 =1400; Х7= 0). Прибыль П = 3200. Полученное решение является оптимальным, так как все переменные в целевой функции – отрицательны.
Вывод: при производстве 800 ед. продукции 2 вида, остаются остатки 500 ед. 1 вида ресурсов и 1400 ед. ресурсов 2 вида. Прибыль составит 3200. Продукцию 1, 3, 4 вида не выпускаем, полностью тратим ресурсы 3 вида.
Результаты расчетов проверяем на ЭВМ.
Таблица - Результаты расчетов на ЭВМ
-
Шаг 0
Базис
БП
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x5
2100
2
2
1
2
1
0
0
x6
2200
3
1
1
3
0
1
0
x7
2400
3
3
2
3
0
0
1
ИС
0
-3
-4
-2
-1
0
0
0
Шаг 1
Базис
БП
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x5
500
0
0
-1/3
0
1
0
-2/3
x6
1400
2
0
1/3
2
0
1
-1/3
x2
800
1
1
2/3
1
0
0
1/3
ИС
3200
1
0
2/3
3
0
0
4/3