2. Цель работы

Целью работы является освоение методики расчета оптимальных настроек промышленного регулятора в замкнутой АСР методами РАФХ и Циглера-Никольса.

3. Краткие сведения из теории

3.1. Метод расширенных амплитудно-фазовых характеристик

Рис.1. Изображение АФХ и РАФХ

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ), обозначаемая как W(m, iω), получается из передаточной функции W(S) при замене

S = - mω + iω, (1)

где m – степень колебательности.

По аналогии с обычной АФХ, являющейся отображением мнимой оси iω в плоскости корней характеристического уравнения на плоскость АФХ, РАФХ является отображением прямой S = - mω + iω на плоскость АФХ (рис.1). РАФХ охватывает АФХ. Касательная в точке ω = 0 всегда вертикальна, а угол  между АФХ и РАФХ в этой точке равен arctg m.

Зададимся требованием на степень колебательности замкнутой системы m^*. Если разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже m^*, то замкнутая система будет обладать m^*, если РАФХ разомкнутой системы W_РАЗ(m^*, iω) проходит через критическую точку (-1, i0). Если РАФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, то степень колебательности замкнутой системы выше, чем m^*.

Таким образом, чтобы замкнутая система обладала заданной степенью колебательности, при m = m^* должно выполнятся условие

W_РАЗ(m, iω) = 1. (2)

Уравнение (2) равносильно системе уравнений:

(3)

где М(m,) – расширенная амплитудно-частотная характеристика (РАЧХ), f(m,) – расширенная фазо-частотная характеристика (РФЧХ). Уравнения (2) и (3) являются основными уравнениями метода РАФХ.

В одноконтурной системе объект-регулятор РАФХ разомкнутой системы W_РАЗ(m, iω) определяется как:

W_РАЗ(m, iω) = W_О(m, iω) · W_Р(m, iω), (4)

Тогда система (3) перепишется в виде:

(5)

При известных характеристиках объекта (М_О(m,), f_О(m,)) из системы (5) можно рассчитать оптимальные настройки промышленного регулятора.

3.1.1 Расчет настроек пи-регулятора

РАФХ пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора определяется по формуле

(6)

где С₁ – коэффициент усиления регулятора, С₀ – передаточный коэффициент интегральной составляющей.

Расчетные формулы для настроек ПИ-регулятора:

, (7)

где – рабочая частота.

В итоге имеем систему уравнений (7) с тремя неизвестными: . Это значит, что существует множество пар (С₁, С₀), которые обеспечивают требуемое значение степени колебательности в данной системе. При этом каждая пара значений (С₁, С₀) соответствует своей рабочей частоте .

Рис.2. Кривые равной колебательности

Для нахождения оптимальных настроек необходимо выбрать рабочую частоту, а затем по формулам (7) рассчитать оптимальные С₁,С₀. С этой целью строят кривые равной колебательности в осях С₁,С₀ (рис.2). Кривая равной колебательности при m = 0 разбивает плоскость настроек на область устойчивой (под кривой) и неустойчивой (над кривой) работы системы. При движении по кривой равной колебательности слева направо, т.е. от точки , значения рабочей частоты растут от до (частота соответствует П-регулятору, т.к. С₀ = 0).

Расчеты для различных процессов при постоянной степени колебательности показали, что минимуму интегрального квадратичного критерия соответствует точка на кривой равной колебательности вблизи ее вершины по правой ветви (рис. 2, точка А). На практике рекомендуется выбирать рабочую частоту из соотношения (8), где соответствует вершине кривой m = const [8]:

(8)

В промышленных ПИ-регуляторах в качестве настроек используются коэффициент усиления регулятора (К_Р) и время интегрирования (Т_И) или время изодрома (Т_ИЗ), связанные с величинами С₁, С₀ следующими формулами:

, (9)

, (10)

. (11)