Общее уравнение плоскости
Определение.Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0
где
А, В, С – координаты вектора
-вектор
нормали
к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.
Исследование общего уравнения плоскости
,
(7)
где
–
координаты
ее нормального вектора, производится
аналогично исследованию общего уравнения
прямой
на плоскости. Приведем ниже все случаи.
Если
,
то уравнение (7) может быть записано в
виде уравнения плоскости в отрезках:
(10)
– плоскость, отсекающая от осейкоординат отрезки величиной а, b и с соответственно, где обозначено
.
рис.6.
Определение. Уравнение
называется неполным уравнением плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С, D равен нулю.
Если
,
то уравнение (7) имеет вид
.
(11)
В
координатной
плоскости Оуz это уравнение есть уравнение
прямой, а так как
,
то данная плоскость
параллельна оси Ох. Уравнение (11) может
быть записано в виде
(12)
или
–
уравнение плоскости параллельной
координатной
плоскости Охz и отсекающей от оси Оу
отрезок величины b,
или
–
уравнение плоскости параллельной
координатной
плоскости Оху и отсекающей от оси Оz
отрезок величины с.
рис.7.
рис.8.
рис.9.
Если
,
то уравнение (6) имеет вид
.
(13)
Это уравнение прямой в координатной плоскости Оуz, проходящая через начало координат и в то же время уравнение плоскости, содержащей ось Ох.
рис.10.
Если
в уравнении (13)
,
то получаем
– уравнение координатной плоскости Оху.
Если
в уравнении (13)
,
то получаем
– уравнение координатной плоскости Охz.
Ситуации,
когда
или
исследуются
аналогично.
Подведем итог исследованию общего уравнения плоскости
. (7)
1) Если , то можно уравнение (7) записать в виде уравнения в отрезках
,
где а, b, с – величины отсекаемых плоскостью от координатныхосей отрезков.
2)
Если
,
но один из коэффициентов А, В, С равен
нулю, то получаем уравнение плоскости
в виде
или
или
– плоскость параллельная оси Оz или Оу или Ох соответственно.
3) Если , но два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– соответственно плоскость параллельна координатной плоскости Оуz или Охz или Оху.
4)
Если
,
то уравнение (7) принимает вид
– плоскость содержит начало координат.
5) Если и один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– плоскость содержит соответственно ось Ох или ось Оу или ось Оz.
6)
Если
и
два из коэффициентов А, В, С равны нулю,
то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
–
уравнение соответственно
координатныхплоскостейОуz
или Охz или Оху.
п.6. Нормированное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
Пусть
(1)
– векторное
уравнение плоскости или прямой
на плоскости, где
–
нормальный вектор плоскости (прямой),
–
радиус-вектор фиксированной точки
плоскости (прямой),
–
радиус-вектор текущей точки плоскости
(прямой).
Заметим,
что в уравнении (1) длина нормального
вектора
не играет никакой роли. Выберем в
уравнении (1) в качестве нормального
вектора
нормальный
вектор единичной длины
,
а направление нормального вектора
выберем такое, чтобы уголмеждувектором
и
был
острый. Смотри следующие рисунки.
рис.11.
рис.12.
Иначе, направление вектора должно быть от начала координат к плоскости (прямой). Раскроем в уравнении (1) скобки
и
разделим обе части
уравнения на
,
если скалярноепроизведение
или
на
,
если
.
Получим
,
(14)
где
.
Обозначим
и
пусть
,
.
Так как координатами единичного вектора
являются его направляющие
косинусы, то
.
Подставляя в (14), получаем
.
Определение. Уравнение вида
, (15)
где
,
–
направляющиекосинусы
нормального вектора
плоскости, называется нормированным
(нормальным) уравнением плоскости.
В
случае прямой
на координатной
плоскости Оху имеем:
,
,
и
.
Определение. Уравнение вида
, (16)
где
,
–
направляющиекосинусы
нормального вектора
прямой, называется нормированным
(нормальным) уравнением прямой
на координатной
плоскости Оху.
Заметим, что в уравнениях (15) и (16) свободный коэффициент (– р) отрицательный, р численно равно расстоянию от начала координат до плоскости (прямой):
.
В этом заключается геометрическийсмысл свободного члена р в этих уравнениях.
Пример. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид:
и найти расстояние от начала координат до плоскости.
Решение.
Имеем,
,
.
Так как свободный коэффициент этого уравнения равен положительному числу 26, то для получения нормированного уравнения плоскости разделим обе части общего уравнения на число, противоположное модулю нормального вектора:
.
Ответ: – нормированное уравнение плоскости. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.
Аналогично приводится к нормальному виду общее уравнение прямой.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Пусть M(x,y,z) – любая точка плоскости.
В
екторы
компланарны тогда и только тогда, когда
точка М
принадлежит плоскости, проходящей через
точки М1,
М2,
М3
. Поэтому смешанное произведение
или
Это есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Уравнение плоскости «в отрезках».
Пусть плоскость, соответствующая уравнению Ax+By+Cz+D=0, отсекает на координатных осях отрезки a,b,c:
Тогда уравнение плоскости можно записать как:
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
,
(1)
где
,
,
-
направляющие косинусы нормали плоскоти,
p - расстояние от начала
координат до плоскости. При вычислении
направляющих косинусов нормали следует
считать, что она направлена от начала
координат к плоскости (если же плоскость
проходит через начало координат, то
выбор положительного направления
нормали безразличен).
Пусть
-
какая угодно точка пространства, d
- расстояние от нее до данной плоскости.
Отклонением
точки
от
данной плоскости называется число +d,
если точка
и
начало координат лежат по разные стороны
от данной плоскости, и число -d,
если они лежат по одну сторону от данной
плоскости (если
лежит
на самой плоскости, то отклонение равно
нулю).
Если
точка
имеет
координаты
,
,
,
а плоскость задана нормальным уравнением
,
то отклонение точки от этой плоскости дается формулой
.
Очевидно,
.
Общее уравнение плоскости
приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой
;
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.