VI.2. Операции над матрицами

39. (Норма матрицы.) Вычислить норму квадратной матрицы A=(a_ij) n‑го порядка.

40. (Построение матриц.) Построить матрицы

а) б)

в)  г) 

д)

41. (Построение матриц.) Построить матрицы C=( ), , с элементами

1. ;

2. .

42. (Циркулянты.) По заданному вектору построить циркулянтную (n n)-матрицу A, у которой первая строка совпадает с a, а каждая последующая строка есть циклический сдвиг (влево) предыдущей строки.

43. (Вертикальная рекурентность, или матрицы, образованные числами Стирлинга s_nk и S_nk первого и второго рода.) Построить (m m)-матрицы s=(s_nk) и S=(S_nk), , , где s_nk=S_nk=0 при n<k и

s₀₀=S₀₀=1; s_n0=S_n0=0 для n>0;

s_n+1,k=s_n,k–1–ns_nk, S_n+1,k=S_n,k–1+kS_nk для n+1 k 1.

44. (Построение некоторых известных матриц.)

1. Для заданного вещественного вектора (x₁,…,x_n) построить (n n)-матрицу Вандермонда W=(w_ij), где , i, j=1,2,…,n.

2. Для заданных вещественных векторов (x₁,…,x_n) и (y₁,…,y_n) построить (n n)-матрицу Коши C=(c_ij), где c_ij=(x_i+y_j)^–1, i, j=1,2,…,n.

3. Построить целочисленную (n n)-матрицу Смита S=(s_ij), где s_ij=н.о.д.(i,j), i, j=1,2,…,n.

4. Вычислить определители матриц W, C и S.

Указание: известно, что

;

;

,

где det A – определитель матрицы A, – функция Эйлера, определяемая как число целых чисел из отрезка [1,k], взаимно простых с k.

45. (Транспонирование матрицы.) Транспонировать заданную квадратную матрицу.

46. (Числа разбиений.) Построить целочисленную квадратную матрицу Q=(q_ij) порядка s, элементы которой определены следующим образом:

q_1k=q_k1=1 для всех k=1,2,…; q_mm=q_m,m–1+1 для всех m=2,3,…;

q_mk=q_mm при m<k; q_mk=q_m,k–1+q_m–k,k при m>k.

Замечание. q_mk есть число способов представления натурального m в виде суммы неупорядоченных натуральных слагаемых, каждое их которых не превосходит r. Например, q_5,4=7, так как 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1.

47. ("Упаковка" и "распаковка" трехдиагональных матриц.)

1. Преобразовать матрицу

в вектор .

2. Выполнить обратное преобразование.

3. Преобразовать матрицу

в вектор .

4. Выполнить обратное преобразование.

48. ("Упаковка" и "распаковка" треугольных матриц.)

1. Преобразовать треугольную матрицу

в вектор .

2. Выполнить обратное преобразование.

49. ("Упаковка" и "распаковка" симметричной матрицы.)

1. По заданной симметричной (n n)-матрице A=(a_ij) построить вектор

.

2. Выполнить обратное преобразование.

50. (Трехдиагональные, треугольные и симметричные матрицы.) Установить, является ли заданная матрица: а) трехдиагональной, б) треугольной, в) симметричной.

51. (Решение системы линейных уравнений.)

1. Найти решение системы линейных уравнений

где , i=1,2,…,n.

2. Найти решение системы линейных уравнений

используя метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Строки

1. Скопированную строку выведите на экран дисплея с разрядкой (с пробелами) между символами.

2. Произведите копирование одной строки в другую при их задании через клавиатуру.

3. Введите с клавиатуры две строки, различающиеся одним символом. Напишите программу по определению индексов двух различных символов для введенных строк. Длину строк возьмите не менее 7 символов.

4. Произведите копирование одной строки в другую без применения функции strcpy().

5. С клавиатуры введите свою фамилию (буквами латинского алфавита), выведите ее на консоль в прямом и обратном порядке, например, Ivanov, vonavI.

6. Напишите программу преобразования десятичной системы счисления в двоичную. Исходное десятичное число считайте целым без знака.

7. Программный код решения примера:

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <iostream>

using namespace std;

int main (void) {

const char D[] = {

'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9'};

int newNumber[80];

long int inputNumber;

int i = 0, base = 2;

cout<<"\n\t Enter a positive integer: ";

cin>>inputNumber;

// Прямой процесс преобразования десятичного числа в двоичное

Do

{

newNumber[i] = inputNumber % base;

++i;

inputNumber /= base;

} while ( inputNumber != 0 );

//Запись преобразованного числа в обратном порядке

cout<<"\n\t Result after conversion: ";

for (--i; i >= 0; --i)

cout<<newNumber[i];

cout<<"\n\n Press any key: ";

_getch();

return 0;

}

8. Подсчитайте число итераций цикла для преобразования числа 13 в двоичное число.

9. Вместо цикла do–while примените цикл while.

10. Напишите программу преобразования двоичного числа в десятичное число. Проверьте работу программы с помощью инженерного калькулятора.

11. Проверьте программу для преобразования десятичных чисел в числа с основанием 3 и 8.

12. Примените посимвольный ввод строк и произведите их конкатенацию с выводом на дисплей результата конкатенации.

13. Произведите конкатенацию имени и фамилии пользователя с помощью операторов цикла, т.е. без помощи функции strcat(). Предусмотрите пробел между именем и фамилией.

14. Присоедините к своему имени свою фамилию, записанную в обратном порядке.

15. Напишите программу по выводу на консоль информации о человеке с помощью пароля, который вводится с клавиатуры. Информация должна содержать имя, фамилию, год, месяц и число рождения, место рождения. В качестве пароля возьмите свою фамилию с учетом регистра (т.е. прописные или строчные буквы).

16. Примените функцию tolower() для перевода в строчные буквы.

17. В символьной строке находятся слова и два числа, разделенные пробелами или запятыми. Выделите из строки слова и числа, разместите их в отдельных массивах. При этом считанные числа и слова разместите в дополнительных символьных массивах. Выведите значения сформированных символьных массивов. Произведите преобразование строковых (символьных) чисел к числам с плавающей точкой (тип double ). Если после десятичной точки находится нуль (или нули), то число определите как целое, в противном случае – как число с плавающей точкой, т.е. типа double.

Для решения примера используем библиотечные функции isalpfa() для определения буквы во входном потоке (с подключением библиотеки ctype.h ), isspace() – для определения пробелов во входном потоке (с подключением библиотеки ctype.h ), isdigit() – для определения цифры во входном потоке (с подключением библиотеки ctype.h ), atof() – для преобразования строки чисел в число с плавающей точкой (с подключением библиотеки stdlib.h ), atoi() – для преобразования строки чисел в целое число (с подключением библиотеки stdlib.h ), modf() – для выделения целой и дробной части числа (с подключением библиотеки math.h ), strlen() – для определения длины строки (с подключением библиотеки string.h ).

Программный код решения примера:

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <string.h>

#include <stdlib.h>

#include <ctype.h>

#include <math.h>

#include <iostream>

using namespace std;

#define N 79

int main (void) {

double r = 0.0, b3, b4;

int i, j, k, m, n, A[N], n2, n3, n4;

char str[N], str2[N], str3[N], str4[N];

// Множественная инициализация

i = j = k = m = 0;

// Обнуление символьных массивов

for (n2 = 0; n2 < N; ++n2)

str2[n2] = 0;

for (n3 = 0; n3 < N; ++n3)

str3[n3] = 0;

for (n4 = 0; n4 < N; ++n4)

str4[n4] = 0;

cout<<"\n\t Print line with 2-nd numbers:\n\t ";

cin.getline(str, sizeof(str)/sizeof(str[0]));

while (str[i] != '\0') {

if ( isalpha(str[i]) || isspace(str[i]) )

str2[j++] = str[i];

else if (isdigit(str[i]) || str[i] == '.')

A[k++] = i; // массив индексов цифр потока

else

str2[j++] = str[i];

++i; }

cout<<"\n\t A string of words and symbols:\n\t"; puts(str2);

if (k > 0)

{

n = 0;

for (i = 0; i < k; ++i){

if (A[i + 1] - A[i] == 1 )

str3[n++] = str[A[i]];

else if (A[i+1] - A[i] > 1)

{m = A[i+1]; str3[n++] = str[A[i]]; break;}

}

}

cout<<"\n";

if (n > 0) {

r = modf(atof(str3), &b3);

if (!r) // если не нуль

cout<<"\t The number is an integer: "<< atoi(str3);

else

cout<<"\t The number is real (double): \n"<< atof(str3);

}

if (m > 0 ) {

j = 0;

for (i = m; i <= A[k - 1]; ++i)

str4[j++] = str[i];

r = modf(atof(str4), &b4);

if (!r) // если не нуль

cout<<"\t The number is an integer: "<<atoi(str4);

else

cout<<"\t The number is real (double):\n"<<atof(str4));

}

cout<<"\n\n Press any key: ";

_getch();

return 0;

}

В программе функция modf() возвращает величину дробной части числа (переменная r ) и целой части (от переменных b3, b4 взяты их адреса, т.е. &b3, &b4 ). Анализ массива с индексами цифр исходного символьного массива дает возможность выделить индексацию двух чисел входного потока. Функция gets_s() автоматически добавляет символ конца строки '\0', поэтому при объявлении размерности символьного массива следует предусмотреть одно место для '\0'. Для переносимости программ размерность массива в функции gets_s() определена с помощью функции sizeof().

17