2. Линейные уравнения
Уравнения вида
+ P(x)y = f(x),
где P(x) и f(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. То есть, неизвестная функция y и ее производная входят в уравнение линейно.
Если
f(x)
0, то уравнение называется линейным
однородным уравнением первого
порядка.
Проиллюстрируем
на примерах, как же интегрируются
линейные уравнения.
Задача 2. Решить уравнение
+
2xy
= x
e
.
Заметим, что уравнение линейное.
Метод подстановки.
Положим y = u v. Откуда находим
Подставив в данное уравнение, получим
.
Сгруппируем
(9)
Функцию V определим так, чтобы сумма в скобках обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
Интегрируем
Возьмем
частное решение при
:
Подставляя функцию
в левую часть уравнения (9), получаем
снова уравнение с разделяющимися
переменными относительно функции U
= U
(x):
Отсюда
U
=
Перемножая найденные функции V(x) и U(x, С), находим общее решение исходного уравнения
2) Метод вариации произвольной постоянной.
Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения
Имеем уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Или
(10)
Далее,
найдем общее решение исходного уравнения
в виде (10), при этом С
будем считать
не постоянной, а неизвестной функцией
от
, то есть
Дифференцируя, имеем
Подставляя
в данное уравнение выражения для
,
получаем
Или
откуда
где
-
произвольная постоянная.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
Замечание.
Может случиться следующее: уравнение
не оказалось линейным относительно
и
,
однако оно линейное относительно
и
.
В частности, уравнение
не
является линейным относительно
и
,
но линейное относительно
и
.
Убедимся в этом, представив уравнение
в виде
Если
же будем решать первым методом, то
следует использовать подстановку
В качестве упражнения самостоятельно решите это уравнение.
Ответ:
3. Уравнение Бернулли.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где
(при
является линейным, а при
-
уравнением с разделяющимися переменными).
Оно сводится к линейному подстановкой
или можно интегрировать также как и
линейное уравнение подстановкой
Задача 3. Решить уравнение
Имеем
уравнение Бернулли. Положим
отсюда
Подставляя в уравнение, получаем
(11)
Решая уравнение
находим
частное решение
Подставив
в (11), будем иметь
.
Интегрируем
Кроме того, u = 0 – решение промежуточного уравнения .
Подставляя, получим общее решение
.
Заметим,
что u
= 0 соответствует решение
данного уравнения, которое не выделяется
из общего решения.
Замечание: При m > 1 в уравнении Бернулли, - решение этого уравнения.
Решим
этот же пример подстановкой
.
В нашем примере m
= 2 . Тогда
,
.
В новых обозначениях уравнение примет
вид
.
Решая это линейное уравнение, находим
.
Переходя к переменной
,
получаем общее решение
. Кроме того, добавим решение
.
Отметим
следующее: может получиться, что уравнение
является уравнением Бернулли относительно
В частности, уравнение
не
является уравнением Бернулли относительно
Представив в виде
убеждаемся,
что является уравнением Бернулли
относительно
Решить самостоятельно.
Ответ:
