3. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого

порядка, разрешенных относительно производной.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения вида

P (x) Q (y) d x + M (x) N (y) d y = 0, (5)

в котором коэффициенты при d x и d y являются произведениями функций, зависящих только от одной из переменных x и y, называется уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления на M(x) Q(y) приводится к уравнению

(6)

к уравнению с разделенными переменными. Общий интеграл уравнения (5) выражается соотношением

, (7)

где С - произвольная постоянная. Если уравнения M (x) = 0 и

Q (y) = 0 имеют вещественные решения x = а , y = b, то функции

x = а , y = b, будучи всегда решениями уравнения (5), могут оказаться, что они выражают решения исходного уравнения, не содержащиеся в общем интеграле (7), так как уравнение (6) было получено из (5) делением на функции M (x) и Q (y).

Поэтому, получив общий интеграл уравнения путем разделения переменных, следует проверить, входят ли в его состав упомянутые частные решения при подходящих числовых значениях параметра С. Если не входят, то их следует записать в ответе отдельно. То есть, в результате разделения переменных могут быть потеряны решения уравнения. (Здесь будьте осторожными ! ). Вообще, при решении дифференциальных уравнений следует быть очень внимательными. Иногда, наоборот, в результате преобразований над уравнениями могут появиться посторонние решения. Одним словом, четко следите за эквивалентностью цепочки преобразований дифференциальных уравнений или если же решаете не обращая на эквивалентность, то есть, заменяя уравнениями (следствиями), имеющими более широкие множества решений чем исходное, то следует отбрасывать, появившиеся лишние решения.

Задача 1. Решить уравнение

x y d x + (x + 1) d y = 0.

Разделяем переменные

Интегрируем

Для упрощения записи мы обозначили произвольную постоянную не через С, а через ln , так как ln может принимать любое действительное значение.

Или

x - ln

Потенцируя, находим

y = C (x + 1) e . (8)

При делении на (x + 1) y могли быть потеряны решения x = -1 и y = 0. Заметим, что решение y = 0 может быть выделено из (8) при С = 0. Решение x = -1 не содержится в (8).

Ответ: y = C (x + 1)e , x = - 1.