2. Особые решения

Решение дифференциального уравнения первого порядка называется особым, если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через каждую ее точку проходит, кроме нее, еще и другая касающаяся ее интегральная кривая данного уравнения.

Итак, особое решение уравнения (2) представляет такое решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Отсюда следует, что для существования особого решения уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялось хотя бы одно из условий теоремы 1.

В частности, для уравнения не выполняется второе условие, т.е., производная обращается в бесконечность на OX плоскости OХY. Для этого уравнения общее решение представляет семейство кубических парабол, причем решение y = 0 проходит через те точки, где производная не ограничена. Итак, решение y = 0 – особое, так как через каждую его точку проходит другая интегральная кривая - кубическая парабола.

Замечание. Заметим, что особое решение не выделяется из общего решения (общего интеграла) при определенном значении параметра С.

Однако, не всякая кривая, в точках которой не выполнено условие ограниченности производной , может быть особой интегральной кривой.

Например, для уравнения хотя в точках прямой y = 0 не выполняется условие ограниченности производной , но эта прямая не представляет особую интегральную кривую, поскольку не является даже решением этого уравнения.

Таким образом, вышеприведенные рассуждения позволяют резюмировать для уравнения (2) при выполнении первого условия теоремы 1 следующее заключение; то есть, особые решения могут быть выявлены так:

1. Найти геометрическое место точек, в которых производная

обращается в бесконечность.

2. Если такие кривые окажутся, то проверить являются ли они интегральными кривыми уравнения (2).

3. Среди выявленных интегральных кривых проверить: нарушается ли в каждой из точек этих кривых свойство единственности.

При выполнении всех этих условий найденные кривые представляют особые решения уравнения (2).

Кроме того, следует подчеркнуть, что уравнение (2) может иметь решения, которые не являются ни частными, ни особыми. Таким примером является решение уравнения .

Если в любой окрестности точки M (x , y ) не выполняются условия теоремы Коши (1), то точка M (x , y ) называется особой точкой уравнения (2). При этом особая точка M (x , y ) называется изолированной, если в некоторой достаточно малой ее окрестности нет других особых точек.

Итак, прежде всего особое решение представляет интегральную кривую, состоящую из особых точек.

Пусть общее решение уравнения (2) допускает однопараметрическое семейство интегральных кривых Ф(x,y,C) = 0, где С – параметр. Допустим, что семейство кривых имеет огибающую, т.е., кривую, которая касается каждой кривой этого семейства и причем состоит полностью из этих точек касания. При этом заметим, что огибающая семейства интегральных кривых является особым решением уравнения (2).

Огибающая семейства интегральных кривых Ф(x,y,C) = 0 определяется из следующей системы уравнений

.

Второе уравнение системы составляется путем дифференцирования по параметру С первого уравнения. Находят кривую путем исключения параметра С из этой системы, если это возможно. Эта кривая называется дискриминантной. Затем найденную дискриминатную кривую проверяют, является ли она решением данного уравнения.

Таким образом, мы привели еще один весьма эффективный способ нахождения особых решений при помощи огибающих семейства интегральных кривых уравнения (2).