2.11. Дана функция . Показать, что
2.
12. Дана функция
Показать, что
2.
13. Дана функция
Показать, что
2.
14. Дана функция
Показать, что
2.
15. Дана функция
Показать, что
2.
16. Дана функция
Показать, что
2.17. Дана функция . Показать, что
2.
18. Дана функция
Показать, что
2.19. Дана функция . Показать, что
2.
20. Дана функция
Показать, что
2.
21. Дана функция
Показать, что
2.
22. Дана функция
Показать, что
2.
23. Дана функция
Показать, что
2.
24. Дана функция
Показать, что
2.
25. Дана функция
Показать, что
Задача
3. Дана функция
и две точки
и
.
Требуется вычислить приближенное
значение функции в точке
,
исходя из значения функции в точке
и заменив приращение функции при переходе
от точки
к точке
дифференциалом.
Задача
4. Найти
Задача
5. Составить
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в
точке
.
Задача
6. Даны функция
z
= f
(x,y)
, точка
и вектор
Найти:
в точке
;
производную в точке
по направлению вектора
.
Задача
7. Найти
наименьшее и наибольшее значения функции
в замкнутой области
,
заданной системой неравенства.
Глава 2. Дифференциальные уравнения
2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия и теоретические сведения
Рассмотрим необходимые теоретические сведения, а также параллельно изложим методы решения ряда типовых задач, разбор которых окажет студенту-заочнику существенную методическую помощь при выполнении контрольной работы.
Напомним, что уравнения вида
F
(x,
y,
)
= 0 (1)
где
x
- независимая переменная, y
- искомая функция от x,
-
ее
производная, называется дифференциальным
уравнением первого порядка.
Если
уравнение (1) можно разрешить относительно
,
то оно принимает вид
=
f
(x,
y)
(2)
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде
или
в такой форме
,
являющимся частным случаем более
общего уравнения
P (x, y) d x + G (x, y) d y = О, (3)
где P(x, y) и Q(x, y) - известные функции. Функция y = y(x) , заданная на интервале (a, b), называется решением уравнения (1) или (2), если при подстановке в уравнение его обращает в тождество относительно x(a, b). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши.
Т е о р е м а Коши (существования и единственности решения) .
Пусть
правая часть f
(x,
y)
уравнения (2) определена в некоторой
области D
на плоскости OХY
. Если существует такая окрестность
точки
области D
, в которой f
(x,
y)
удовлетворяет условиям:
Непрерывна по совокупности аргументов;
Имеет ограниченную частную производную
,
то
существует и причем единственное
решение y
= y
(x)
уравнения (2) в некоторой окрестности
точки
,
удовлетворяющее условию y
(x
)
= y
или пишут так:
.
Замечание. Если в теореме требование ограниченности производной заменить выполнением условия Липшица:
,
то теорема
Коши в такой формулировке остается в
силе.
Геометрически
теорема означает, что через точку
M
(x
,
y
)
проходит единственная интегральная
кривая уравнения (2) . Эта теорема имеет
локальный характер, она гарантирует
существование единственности решения
уравнения (2) лишь в достаточно малой
окрестности точки
.
Из этой теоремы следует, что уравнение
(2) имеет бесконечное множество различных
решений. Условие (4) называется начальным
условием.
Отыскание
решения уравнения (2), удовлетворяющего
начальному условию (4), называется
задачей Коши. С геометрической точки
зрения решить задачу Коши означает:
выделить из множества интегральных
кривых ту, которая проходит через
заданную точку M
(x
,
y
)
.
Напомним
понятие общего решения. Пусть D
- некоторая область на плоскости охy,
через каждую точку которой проходит
единственная интегральная кривая
уравнения (2). Однопараметрическое
семейство функций y
=
(x,
C
) параметра С называется общим решением
уравнения (2), удовлетворяющего условиям
теоремы Коши в области D,
если при любом допустимом значении
параметра C
определяет решение этого уравнения
и, кроме того, для любой внутренней
точки M
(x
,
y
)
существует такое значение С=
С
, что функция y
=
(x,
С
)
удовлетворяет начальному условию
.
Любая функция, выделенная из общего решения, называется частным решением.
Уравнение Ф (x, y, С) = О , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Остановимся на следующих полезных упражнениях:
1.
Рассмотрим уравнение
.
В этом уравнении
определена
и непрерывна во всех точках плоскости
OХY
и имеет
=2
. В силу теоремы 1 через каждую точку
M
(x
,
y
)
проходит единственная интегральная
кривая этого уравнения.
2.
Дано уравнение
.
Функция
определена и непрерывна на всей плоскости
OХY;
однако,
.
Заметим, что во всех точках оси OX
не выполняется второе условие теоремы
Коши. Легко убедиться, что семейство
функций
при любом С является решением данного
уравнения. Кроме того, это уравнение
имеет решение y
= 0, т.е., ось OX.
Если же искать решения этого уравнения,
удовлетворяющие начальному условию y
(0) = 0, то таких решений можно найти
бесчисленное множество; в частности,
такие
y
= 0,
и т.д.
При
этом через каждую точку
оси OX
проходят по крайней мере две интегральные
кривые y
= 0 и
,
то есть, в точках оси OX
нарушается единственность решения.
Если
же взять точку
,
то в достаточно малой ее окрестности
выполнены все условия теоремы 1. Тем
самым через данную точку в малом квадрате
проходит единственная интегральная
кривая
.
Естественно, если же квадрат
достаточно
расширить, то в нем единственность
решения не будет выполнена, что убеждает
нас о локальном характере теоремы 1.
Теорема
1 дает лишь достаточные условия
единственности решения уравнения (2).
Однако, не исключается возможность
существования единственного решения
y
= y
(x),
удовлетворяющего начальному условию
,
хотя в точке M
(x
,
y
)
и не выполняются условия теоремы Коши.
Можно было бы этот вариант тоже
проиллюстрировать на примерах.
Таким образом, мы вплотную подошли к необходимости рассмотрения так называемых особых решений дифференциальных уравнений (1) или (2).