
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление функции
- •1.1. Краткие теоретические сведения и упражнения
- •Подставляя найденные значения в формулу (5), получим
- •Далее, используя уравнения (8) и (9) , получим
- •1. 2. Упражнения для самостоятельной работы
- •1.3. Задачи для контрольной работы
- •Задача 2
- •2.1. Дана функция . Показать, что
- •2.11. Дана функция . Показать, что
- •2.17. Дана функция . Показать, что
- •2.19. Дана функция . Показать, что
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения
- •2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Основные понятия и теоретические сведения
- •2. Особые решения
- •3. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Линейные уравнения
- •4. Однородные уравнения.
- •5. Уравнения, приводящиеся к однородным
- •6. Уравнения в полных дифференциалах
- •7. Уравнения, не разрешенные относительно производной Рассмотрим теперь случай уравнения первого порядка
- •2.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •2.3 Системы дифференциальных уравнений
- •Согласно условию задачи будем иметь
- •2.5 Упражнения для самостоятельной работы
- •2.6 Задания для контрольной работы по теме
- •Глава III. Теория вероятностей
- •3.1. Основные понятия
- •1. Алгебра событий
- •2. Вероятностное пространство
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •4. Независимость событий
- •5. Классическое вероятностное пространство
- •6. Элементы комбинаторики
- •7. Геометрические вероятности
- •Напомним соответствующие определения:
- •8. Упражнения и задачи
- •3.2. Контрольная работа №1 по теории вероятностей
- •3.3. Случайные величины
- •2. Дискретные случайные величины
- •3. Примеры дискретных случайных величин
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона.
- •4. Непрерывные случайные величины
- •1. Свойства плотности распределения
- •2. Приведем примеры непрерывных распределений
- •5. Числовые характеристики случайных величин
- •1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •3. Свойства математического ожидания случайной величины
- •4. Свойства дисперсии случайной величины
- •5. Рассмотрим практические упражнения.
- •6. Формула Лапласа
- •1. Локальная формула Муавра-Лапласа
- •2. Интегральная формула Муавра-Лапласа
- •7. Распределение Пуассона
- •8. Контрольная работа №2 по теории вероятностей
- •Основная литература
Глава III. Теория вероятностей
3.1. Основные понятия
1. Алгебра событий
Произвольное
множество
будем называть пространством элементарных
событий. Элементы
этого множества назовем элементарными
событиями. Эти понятия являются
первоначальными. В реальном опыте
элементы
интерпретируются как взаимно исключающие
исходы изучаемого случайного явления.
Для описания каждой реальной задачи
множество
выбирается
наиболее подходящим образом. Приведем
ряд примеров поясняющих выбор множества
.
1.
Пусть монета подбрасывается один раз.
При бросании монеты возможны исходы:
выпадение герба, выпадение “Решетки“.
Итак, при описании этого опыта мы
полагаем
={
},
где
соответственно означают выпадение
герба и выпадение решетки.
2.
Теперь рассмотрим подбрасывание
игральной кости, т.е., однородного кубика,
на каждой грани которого написано
различное число от 1 до 6. Естественно в
этом случае следует выбрать
={
},
где
(к=1,2,…,6)
означают исход опыта, заключающийся в
выпадении к
очков. Имеем шесть исключающих друг
друга исходов.
3.
Далее рассмотрим подбрасывание монеты
n
раз. Каждому исходу опыта поставим в
соответствие последовательность из n
чисел последующему правилу: если при
к- ом подбрасывании монеты выпал герб,
то на к-ом месте последовательности
фиксируем Г, а при выпадении решетки
–Р. Например, последовательность (РР…РР)
означает исход опыта, заключающийся в
том, что каждый раз выпала решетка при
n
испытаниях. В частности, при n
=3 принимаем
={ГГГ,
ГГР, ГРГ, ГГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР}. При n
больших значениях, число элементарных
событий резко возрастает, оно равно
.
4. Введем прямоугольную систему координат XOY. Пусть стрелок попадает непременно в какую-либо точку из круга радиуса 10 ед. с центром в начале координат. Тогда есть множество всех точек М(x,y) замкнутого этого круга.
Или можно записать в координатной форме так
.
Однако в реальном опыте кроме взаимоисключающих исходов можно указать много других случайных событий. Например, при бросании игральной кости можно говорить о выпадении четного числа очков. Это событие происходит только в том случае, когда происходит одно из трех элементарных событий
.
Представляется естественным каждое
реальное событие в математической
модели рассматривать как некоторое
подмножество А множества
.
В
дальнейшем
будет означать объединение двух множеств
А и В,
-
пересечение этих множеств. Запись
означает дополнение А к множеству В,
т.е., оно состоит из элементов множества
А, не принадлежащих В.
Итак, пусть - произвольное множество, а F – некоторый класс подмножеств множества . F называется алгеброй, если выполняются условия:
;
Для любых
:
;
Если
.
Из
последнего свойства следует, что
.
Замечание 1. Нетрудно заметить, что в условии 2 достаточно требовать выполнения лишь одного из приведенных двух соотношений. Второе будет выполняться автоматически.
Замечание
2. Если
-конечное
множество, то система всех подмножеств
будет также конечным множеством. Если
множество
состоит из n
элементов, то число всех подмножеств
равно
.
Множество
F
называется
-алгеброй
или борелевской алгеброй, если из того,
что
следует
.
Замечание
3. Достаточно выполнялось лишь одно из
этих двух соотношений. Второе будет
следствием равенства
.
Элементы
множества F
будем называть событиями. Такой подход
к понятию события удобен еще и тем , что
благодаря ему понятия суммы и произведения
событий, а также противоположного
события приобретают естественный
теоретико-множественный смысл. А именно,
под суммой А+В событий А и В будем
понимать объединение соответствующих
подмножеств, под произведением АВ
событий: A
и B
- пересечение тех же подмножеств, а под
противоположным событием
понимается событие, соответствующее
подмножеству
,
то есть, дополнение к подмножеству А в
.