Согласно условию задачи будем иметь

Отсюда

Рассмотрим уравнение Разделяя переменные и интегрируя, получим . Или . Заметим, что . Учитывая начальные условия y (1)=2, находим искомую кривую .

Аналогично рассматривая , получим кривую .

Итак, через точку M (1,2) проходят две кривые , , удовлетворяющие условию задачи.

Задача 2. Пусть тело нагрето до температуры . Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной . При этом полагаем, что < . Найти зависимость между изменяющейся температурой

T и временем охлаждения t .

Искомую зависимость обозначим через T=T(t). Скорость изменения температуры по закону Ньютона пропорциональна разности температур - . Тем самым имеем уравнение

= - k ( - ) .

Так как с возрастанием времени t температура T уменьшается, поэтому справа выбран знак минус. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы.

Итак, дифференциальное уравнение составлено для исследуемого физического процесса. Находим общее решение. Разделяя переменные и интегрируя, получим

, отсюда с учетом имеем

+С . Заметим, что С > 0 . В процессе разделения переменных нам пришлось разделить обе части уравнения на - , то есть предположить, что - 0 . Если же рассмотреть функцию , то она удовлетворяет полученному дифференциальному уравнению. Эта функция не может быть выделена при С > 0. Поэтому к общему решению надо еще приписать решение . Для того чтобы этого не делать, в данном случае можно снять ограничение на С. То есть, считать . В частности, при С = 0 получаем решение .

Итак, общее решение полученного уравнения +С , .

Используя начальное условие , находим . Подставляя, будем иметь закон охлаждения в виде следующей зависимости

+ .

Коэффициент пропорциональности k заранее известен. Если неизвестен, то определяют эмпирическим путем. Измеряют температуру T в некоторый момент времени t . Пусть при . Тогда из полученной зависимости находим

.

Заметим, что теоретически температура тела сравнивается с температурой окружающей среды лишь при .

2.5 Упражнения для самостоятельной работы

Интегрировать следующие дифференциальные уравнения 1-го порядка:

1.

2. 

3.

4.

5. (xy+1) ydx = xdy; ответ:

6. tgy dx+ tgx dy = 0; ответ: sinysin x = c.

7. ; ответ:

8.

Найти общие решения:

9. 

2.6 Задания для контрольной работы по теме

“Дифференциальные уравнения“

Задание 1. Проверить, является ли данная функции решениями

соответствующих дифференциальных уравнений:

Задание 2. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

Задание 3. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

Задание 4. Найти решение задачи Коши:

Задание 5. Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

Задание 6. Пусть L(x) = f(x) – линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни такие:

, где m –кратность корня. Для каждой из данных функций f(x) написать вид частного решения с неопределенными коэффициентами.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

Задание 7. Найти решение задачи Коши.

Задание 9. В нижеследующих задачах определить тип данного дифференциального уравнения и затем решить его соответствующим способом:

Задание 9. Найти общие решения систем дифференциальных уравнений:

Задание 10.

10.1 Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью На полном ходу ее мотор был выключен и через 10 сек. скорость лодки уменьшилась до Определить путь, пройденный лодкой за 1 мин ( с момента выключения мотора), считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

10.2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

10.3. Температура воздуха . Тело, находящееся в этом воздухе, охладилось за 25 мин от до . На сколько градусов остынет тело за следующие 25 мин ?

10.4. Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен отношению удвоенного произведения координат этой точки к разности квадратов абсциссы и ординаты. Найти кривую.

10.5. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству. Через сколько лет распадается 0,1 часть всего количества радия, если период его полураспада составляет 1590 лет?

10.6. Кривая проходит через точку А(2;-1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности к = 3. Найти уравнение кривой.

10.7. Вещество А вступило в реакцию с другим веществом. Скорость течения реакции пропорциональна наличному количеству вещества А. Сколько вещества А было в начале реакции, если через 1 час после начала реакции осталось его 100 г, а через 3 часа осталось 25 г ?

10.8. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

10.9. Напряжение U на зажимах катушки равномерно падает от 2в до 1в в течение 10 сек. Определить ток I в конце десятой секунды, если при включении он равен а. Сопротивление катушки R=0,12 ом, индуктивность L=0,1 гн. ( Указание. Если переменный ток I течет по проводнику индуктивностью L и сопротивлением R, то падение напряжения вдоль проводника равно ).

10.10. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности к = 3. . Найти уравнение кривой.

10.11. Последовательно включены: сопротивление R и конденсатор емкости C , заряд которого при t = 0 равен q . Цепь замыкается при t = 0 . Найти силу тока в цепи при t > 0.

10.12. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

10.13. Найти период свободных колебаний массы m, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротивления

10.14. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс любой касательной, проведенной в любой точке кривой , равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

10.15. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону E=Vsinwt , сопротивление R и самоиндукция L . Найти силу тока в цепи (установившийся режим).

10.16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

10.17. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды. Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна a градусам.

10.18. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М (0,5;-1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

10.19. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(0,2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.

10.20. Тело массы m движется прямолинейно под действием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

10.21. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М (1,0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.

10.22. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М (3,1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

10.23. Определить через сколько времени упадет на Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними), если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстояние его от центра Земли равно H . Сопротивлением атмосферы пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли постоянно и равно g .

10.24. Определить кривую, проходящую через точку М (-1;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

10.25. Найти кривую, проходящую через точку М(-1:2), если поднормаль ее в каждой точке равна 2.