2.3 Системы дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений вида

,

где - неизвестные функции от независимой переменной , правые части представляют заранее заданные функции от переменных , , называется нормальной системой.

Напомним, что для нормальной системы смысл теоремы Коши (существования и единственности решения) состоит в следующем: если правые части системы непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным в некоторой области D, то для любой точки существует единственное решение в некоторой окрестности точки

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

Общее решение нормальной системы представляет множество функций

,

зависящих от n параметров, которые при любых допустимых значениях параметров обращают каждое уравнение системы в тождество, в области, в которой выполнены условия теоремы Коши и кроме того, из этой совокупности функций можно выделить любое решение задачи Коши.

Уравнение

можно свести к нормальной системе. Действительно, введем новые переменные

, в результате получим эквивалентную нормальную систему уравнений

.

Таким образом, приведенный подход позволяет свести решение дифференциального уравнения n – го порядка к решению нормальной системы n уравнений первого порядка. Именно такой подход часто используется при численном интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков.

Многие основные теоретические положения для нормальных систем аналогичны дифференциальным уравнениям высших порядков в силу их вышеуказанной взаимосвязи. Поэтому ограничимся весьма кратким рассмотрением вопросов, связанных системами дифференциальных уравнений.

При решении систем дифференциальных уравнений весьма часто используется метод исключения неизвестных.

Проиллюстрируем на примере решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.

Задача 1. Найти общее решение системы. Выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Имеем линейную однородную систему с постоянными коэффициентами. Решим методом исключения неизвестных. Дифференцируем первое уравнение по t:

Подставляя вместо из 2-го уравнения, получим

Выразим y из 1-го уравнения и подставим в последнее уравнение, в итоге будем иметь линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Найдем его общее решение. Корни характеристического уравнения

равны

Итак, (24)

Далее найдем вторую неизвестную функцию, используя (24)

Кроме того, с учетом начальных условий, получим:

Ответ:

Замечание. Итак, линейные однородные системы с постоянными коэффициентами сводятся к решению линейных однородных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Аналогичное положение имеет место и для линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами. Можно найти общее решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами также через корни характеристического уравнения и т.д.

При помощи дифференциальных уравнений описываются многие физические и механические процессы, природные явления и т.д., то есть, научные достижения в этой области имеют весьма разнообразные и глубокие теоретические и прикладные приложения во многих областях знаний, а также широко используются при решении инженерных, экономических и прикладных задач практического характера. Одним словом, в современном мире диапазон приложений теории дифференциальных уравнений очень широкий.

2.4 Задачи на составление дифференциальных уравнений

В заключение рассмотрим некоторые простейшие задачи геометрического и физического характера, связанные с составлением дифференциальных уравнений и нахождением их решений с учетом начальных условий.

Задача 1 . Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

y

M

X

0

Q

L

N

Построим схематический чертеж. Пусть y = y(x) описывает искомую кривую.

Прямые MN и ML означают соответственно касательную и нормаль к кривой y = y(x) в точке M. MQ OX. Длина отрезка называется подкасательной, а - поднормалью.

При этом справедливы формулы: .