Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное однородное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами записывается в общем виде так
(21)
где
действительные постоянные.
Алгебраическое уравнение
(22)
полученное заменой производных искомой функции степенями, называется характеристическим уравнением для уравнения (21). При помощи корней характеристического уравнения можно записать так называемую фундаментальную систему частных решений, которая позволяет составить общее решение уравнения (21). Поскольку частные решения, составляющие фундаментальную систему решений, зависят от вида корней характеристического уравнения, поэтому уместно составить следующую таблицу
Характер корня характеристического уравнения (22) |
Частные решения уравнения (21) |
1. - простой вещественный корень |
|
2. - вещественный корень кратности к |
,
x
,
|
3. i – простые комплексные сопряженные корни |
|
4. i - комплексные сопряженные корни кратности к |
|
,
.
.
.
,
Пусть
фундаментальная
система частных решений уравнения (21).
Тогда
общее решение этого уравнения .
З а д а ч а 6. Найти общее решение уравнения
Запишем характеристическое уравнение
Корни
простые,
а
корень
кратности 3.
По найденным корням с учетом приведенной таблицы составим фундаментальную систему решений
Общее решение имеет вид
Задача 7. Найти общее решение уравнения
Методом подбора найдем один корень =2 характеристического уравнения
+
4
+
- 26
=
0 .
Разделим
Итак,
Откуда
i
(
Составим по корням (см. таблицу) фундаментальную систему частных решений
Тем самым общее решение устанавливаем в виде
3. Линейное неоднородное уравнение n - го порядка с постоянными коэффициентами в общем виде имеет такой вид
(23)
где
действительные постоянные, а f
(x)
Общее
решение уравнения (23) можно записать
так: y
=
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения, а
-
любое частное решение уравнения (23).
Задача 8. Найти общее решение уравнения
Сначала
найдем общее решение однородного
уравнения
Корни характеристического уравнения
такие:
i.
Составим фундаментальную систему частных решений
Общее решение однородного уравнения запишется
Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных
где
функции
подлежат определению. Составим систему
Отсюда находим
Интегрируем
Возьмем
Следовательно, общим решением уравнения будет
Метод вариации произвольных постоянных является универсальным способом нахождения частных решений линейного неоднородного уравнения.
Если же правая часть f (x) уравнения (23) имеет вид
где
многочлены соответственно степени m
и n
относительно переменной x,
то частное решение
можно искать методом неопределенных
коэффициентов.
В
частности, если
i
не является корнем характеристического
уравнения , соответствующего однородного
уравнения, то частное решение следует
искать в виде
где
многочлены
степени
с неопределенными коэффициентами.
Если i - корень характеристического уравнения кратности r , то
Задача 9. Найти общее решение уравнения
.
Корни
характеристического уравнения
такие:
Правая
часть уравнения f
(x)
=
- простой корень характеристического
уравнения. С учетом вышеуказанных
теоретических сведений частное решение
будем искать в виде
Находим:
Подставив
в
данное уравнение и сократив обе части
его на
получим
10Ax+2A+5B= x .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь систему
Отсюда
Итак,
Общее решение исходного уравнения примет вид
+
Задача 10. Найти общее решение уравнения
Корни
характеристического уравнения
равны
не является корнем характеристического уравнения. Тем самым частное решение запишется в виде
Продифференцируем
Подставляя
в
исходное уравнение, получаем
2Asinx 2Bcosx = sinx .
Приравнивая коэффициенты при функциях sinx и cosx, будем иметь
Отсюда
Итак,
Общее решение уравнения
