6. Уравнения в полных дифференциалах

Если левая часть уравнения

(14)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции от независимых переменных x и у, то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл имеет вид

Для того, чтобы уравнение (14) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(15)

Поясним на примере, как находится общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

Задача 6. Найти общий интеграл уравнения

Проверим, является ли уравнением в полных дифференциалах.

Находим

Условие (15) выполнено, следовательно, имеем уравнение в полных дифференциалах. Функция F = F(x,y) может быть найдена, исходя из условий

То есть,

F (x, y) =

где - неизвестная пока функция от y . Далее, с учетом условия (16), будем иметь

Откуда

Положим C = 0, находим

F (x, y)=5x y - 8xy + x + 3y.

Следовательно, общим интегралом уравнения будет

5xy - 8xy + x + 3y = C.

7. Уравнения, не разрешенные относительно производной Рассмотрим теперь случай уравнения первого порядка

F (x, y, ) = 0, (18)

не разрешенного относительно производной .

Так же как и в случае уравнения, разрешенного относительно производной, кривые, подозрительные на особое решение уравнения (18), можно найти по семейству интегральных кривых Ф(x,y,C) = 0 , как огибающую, исключая параметр С из системы уравнений

или по самому уравнению.

Поясним нахождение особого решения при помощи исходного уравнения (16). Предполагая, что существует , составляем систему уравнений

.

Кривая, получающаяся исключением из этой системы называется дискриминатной кривой уравнения (18). Она может быть особым решением уравнения, для этого, прежде всего, проверить является ли решением этого уравнения.

Таким образом, особым решением уравнения (18) может быть только дискриминатная кривая этого уравнения или семейства интегральных кривых. Дискриминатная кривая (или ее часть) будет особым решением в том случае, когда она (или ее часть) является огибающей семейства интегральных кривых (или части семейства). Не вникая в тонкости этого вопроса, отметим, что дискриминатная кривая может быть также геометрическим местом так называемых точек возврата интегральных кривых или точек прикосновения интегральных кривых различных ветвей решения уравнения (18).

Рассмотрим иллюстративные упражнения:

а) .

Общее решение этого уравнения имеет вид . При помощи исходного уравнения составим систему для определения дискриминатной кривой

.

Отсюда y = 0 - дискриминатная кривая. Она является особым решением, так как ось OX – огибающая семейства интегральных кривых.

б) . Это уравнение имеет два семейства интегральных кривых

. Или объединяя можно записать так

. Далее найдем дискриминатную кривую этого семейства интегральных кривых. Составляем систему ранее указанным образом

.

Отсюда исключая параметр С, находим дискриминатную кривую x = 0, то есть, ось OY. Заметим, что она не является огибающей данного семейства интегральных кривых. Следовательно, x = 0 не является особым решением, а является геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых уравнений

.

в) Уравнение имеет семейство интегральных кривых . Составим систему

.

Исключая С, находим дискриминатные кривые . Прямая y = x не является решением этого уравнения, можно убедиться непосредственной подстановкой. Она является геометрическим местом так называемых точек возврата. Вторая прямая является огибающей , следовательно, является особым решением.

Кроме того, особое решение может быть найдено следующим образом:

найти те решения уравнения, которые могли быть потеряны в процессе преобразований. Для этого надо проследить, не происходило ли в процессе преобразований нарушения равносильности уравнений, и если таковые были, то выявить те множители, которые могли давать решения исходного уравнения. Полученные таким путем функции следует подставить в исходное уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются решениями. После этого следует выяснить, не содержатся ли выявленные решения в записи общего решения. Если нет, то их надо дописать отдельно к общему решению уравнения.

Теперь, наконец, рассмотрим вопрос о нахождении общего решения уравнения (18), не разрешенного относительно производной.

1. Пусть уравнение F (x, y, ) = 0 разрешимо относительно переменной y, то есть уравнение имеет вид

.

Введем параметр р, полагая

.

Тогда получим

y = f ( x, p ) .

Далее продифференцируя по переменной x, будем иметь

.

Получили уравнение, разрешенное относительно производной .

Из системы уравнений

определяют общее решение в явном или параметрической форме.

В частности, если уравнение имеет вид , то в этом случае переменная находится интегрированием

.

Решение в параметрической форме записывается в виде

.

1. Уравнение разрешимо относительно переменной x, то есть

Аналогично, положив , имеем x = f ( y, p ). Дифференцируя по переменной y, получим

.

Затем общее решение в рассматриваемом случае записывают в явном виде или параметрической форме.

Если же уравнение имеет вид ,

то в параметрической форме решение принимает вид

.

Проиллюстрируем на примерах.

а) Проинтегрировать уравнение

.

Имеем случай 1. Введем параметризацию уравнения, полагая . Тогда . Дифференцируя по переменной x, имеем

или .

Отсюда p = -x + C, p = -2x. Освобождаемся от параметра p, подставляя поочередно оба результата в выражение для y, найдем общее решение

и решение .

б) Решить уравнение

.

Имеем случай 2. Положим . Тогда . Дифференцируя по y, получим

или .

Получилось однородное уравнение, кроме того, также является и линейным. Интегрируя, находим . Освобождаясь от параметра p, получим или .

в) Проинтегрировать уравнение

.

Положим . Тогда . Имеем случай 1, кроме того, уравнение не содержащее переменную x . Дифференцируя, получаем

.

Заменяя dy через p dx, затем, интегрируя, находим

.

Можно было бы при решении уравнений вида воспользоваться здесь приведенными зависимостями

, однако, нет в этом необходимости, поскольку путем операций дифференцирования и интегрирования соответствующие результаты получаются просто и естественным образом.

Вернемся к рассматриваемому примеру.

Итак, общее решение в параметрической форме имеет вид

.

Здесь параметр p легко можно исключить. Из первого уравнения находим . Затем подставляя во второе, окончательно получим решение в явном виде

.

3. Уравнение Лагранжа.

Уравнение вида

,

где - данные дифференцируемые функции производной , называется уравнением Лагранжа. В уравнении Лагранжа переменная y является линейной функцией от x с коэффициентами, зависящими от .

Полагая , уравнение Лагранжа сводится к интегрированию линейного уравнения. Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь особые решения. Если уравнение имеет вещественные корни , то, кроме того, такие получим решения

,

уравнения Лагранжа. Среди них могут быть особые решения. Геометрически особые решения уравнения Лагранжа представляют прямые.

Рассмотрим пример. Найти решения уравнения

.

Положим . Тогда . Дифференцируя по , получим

.

Отсюда . Сразу же найдем решения, отвечающие корням уравнения . Для p = 0 имеем решение y = 0, а для p = 1, будем иметь y = x – 1 .

Далее уравнение запишем в виде

.

Имеем линейное уравнение, кроме того, также является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя, находим

.

Итак, общий интеграл в параметрической форме записывается так

или .

Исключив параметр , общее решение запишется

. Решение y = 0 является особым, поскольку оно не выделяется из общего решения. Функция y = x – 1 является частным решением, так как она выделяется из общего решения при C = 0 .

4. Уравнение Клеро.

Если в уравнении Лагранжа положить , то оно принимает вид

.

Такое уравнение называется уравнением Клеро. При этом функция полагается дважды непрерывно дифференцируемой. Если в уравнении Клеро подставить С вместо , то получим общее решение уравнения Клеро

.

Особая интегральная кривая, как огибающая семейства интегральных кривых определяется в параметрической форме так

.

Таким образом, общее решение уравнения Клеро геометрически представляет собой семейство прямых на координатной плоскости, а особое решение – огибающую этого семейства.

Далее решим следующее уравнение

.

Имеем уравнение Клеро. Общее решение получаем, заменяя в нем на С:

.

Особое решение определяется из системы

,

где второе уравнение получено из первого путем дифференцирования по С . Исключив из системы параметр С, получим особое решение .

Итак, особое решение геометрически представляет параболу, а общее решение – касательные к этой параболе.