116

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО образованиЮ

Димитровградский институт технологии, управления и дизайна

Ульяновского государственного технического университета

Г.М. Ильмушкин

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ

для студентов заочного обучения технологических

специальностей

Димитровград - 2006

УДК 517.2+6П9.2+6П9.3

ББК 22.16+37.23+37.24

Рекомендовано к изданию кафедрой математики и информационных технологий Димитровградского института технологии, управления и дизайна УлГТУ.

Рецензент

доктор физико-математических наук,

профессор Худяков А. В.

Одобрено редакционно-издательским советом Димитровградского института технологии, управления и дизайна Ульяновского государственного технического университета.

Ильмушкин Г.М.

Предлагаемая методическая разработка предназначена для студентов заочного обучения технологических специальностей. В работе рассматриваются основные теоретические положения по разделам “Дифференциальное исчисление функции многих переменных“, “Дифференциальные уравнения” и “Теория вероятностей”. Изложение необходимых теоретических сведений параллельно сопровождается решением типовых примеров и задач различной сложности. Приводятся также семестровые контрольные задания, даются методические рекомендации и подходы к их решению. Данная разработка может быть использована также студентами дневного обучения.

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов-заочников технологических и экономических специальностей. В пособии даются методические указания и рекомендации к выполнению контрольных работ по темам “Дифференциальное исчисление функции многих переменных”, “Дифференциальные уравнения” и “Теория вероятностей”, а также приводятся контрольные задания. Кроме того, дается краткое изложение необходимых теоретических сведений с рассмотрением практических упражнений различной сложности. Предлагаются упражнения с целью приобретения первоначальных навыков решения типовых задач, а также теоретические упражнения для самоконтроля.

Прежде чем приступить к выполнению контрольных заданий каждой контрольной работы, студенту рекомендуется внимательно изучить соответствующие теоретические вопросы по данному разделу. Затем следует внимательно разобрать примеры решения типовых задач, а также выполнить приводимые здесь упражнения. Обратите внимание также на правила выполнения и оформления контрольных работ.

Выполнение указанных рекомендаций и советов позволит Вам успешно выполнить контрольные задания, избавит от многих трудностей при защите контрольных работ и в конечном итоге способствует лучшему усвоению всего курса математики.

Глава 1. Дифференциальное исчисление функции

МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этом разделе даются указания и рекомендации студенту-заочнику к выполнению контрольной работы по разделу “Дифференциальное исчисление функции многих переменных”, а также приводятся контрольные задания. Параллельно по мере рассмотрения теоретических сведений изучите методические подходы к решению типовых задач. В целях приобретения практических навыков решения задач предварительно выполните предлагаемые упражнения по данной теме.

1.1. Краткие теоретические сведения и упражнения

Теперь изложим методы решения ряда типовых задач, разбор которых окажет студенту-заочнику существенную методическую помощь при выполнении настоящей контрольной работы.

Сначала напомним, что под областью определения функции z = f(x,y) будем понимать совокупность точек плоскости Oxy, в которых данная функция определена, то есть, принимает определенные действительные значения.

Задача 1. Найти области определения следующих функций:

Решение. a) Областью определения данной функции является множество всех точек М(x,y), для которых выражение определено; то есть совокупность точек M(x,y), для которых или Кроме того, еще можно записать так: . Область определения D образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным 3. При этом окружность не входит в область D (см. Рис. 1.).

б) Данная функция определена только для таких точек M(x,y), координаты которых удовлетворяют системе неравенств

То есть, область определения

Для того чтобы уяснить, где расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют неравенству Y<3-X, рассмотрим прямую: Y=3-X. Множество точек M (x, y ), удовлетворяющих неравенству Y<3-X, есть часть плоскости Oxy, расположенная ниже прямой Y=3-X. Заметим, что совокупность точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

есть множество точек, расположенных в первой и третьей четвертях;

кроме того, этому условию удовлетворяют точки, лежащие на координатных осях. Пересечение двух множеств и дает область определения рассматриваемой функции, то есть , ее геометрическое изображение дано на Рис 2. При этом точки отрезка не входят в область определения.

y y

3

M₂

M₁

3 x 0 3 x

Рис. 1

Рис. 2

Прежде чем приступить к рассмотрению следующей задачи вспомним ряд понятий и определений.

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y). Придадим переменной x в точке М произвольное приращение x , оставляя значение переменной y неизменным. При этом x таково, что точка x+x, y лежит в указанной окрестности точки М. Тогда  Z= f (x+x, y) - f(x, y) называется частным приращением функции по переменной x в точке M(x,y).

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y.

Определение. Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции z = f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x и обозначается одним из следующих символов: Точно также определяется частная производная по переменной y.

Если нужно явно указать, в какой точке вычислена та или другая частная производная, то пишут так:

или или .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных z = f(x,y) по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

Понятие частной производной определяется так же и для функций любого

числа переменных. Так, для функции трех переменных U (x, y, z) можно опре-

делить три частные производные:

.

Задача 2. Найти частные производные следующих функций

Решение.

а)

б)

в)

Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Пусть частные производные функции z = f(x,y) , определенной в окрестности точки M(x,y) , существует в каждой точке этой окрестности. Тогда рассматриваемые частные производные представляют собой функции двух переменных x и y в окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь можно рассматривать частные производные по переменным x и y функций в точке M(x,y); если они существуют, то называются частными производными второго порядка функции z = f(x,y) в этой точке и обозначаются следующими соответствующими символами:

Частные производные второго порядка

называются смешанными частными производными.

Задача 3. Дана функция

Найти

Решение. Находим

Заметим, что смешанные производные и равны. Но, вообще говоря, значения смешанных частных производных зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.

В связи с этим сформулируем утверждение, которое гарантирует равенство смешанных производных:

если смешанные производные существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой точке , то они равны в этой точке; то есть

Можно определить частные производные еще более высоких порядков:

и т.д.

Задача 4. Дана функция Показать, что

(1)

Решение. Находим последовательно необходимые частные производные второго порядка данной функции:

Подставляя в левую часть (1) , получим:

Следовательно, функция действительно удовлетворяет (1).

Теперь рассмотрим понятие дифференцируемости функции. Прежде всего, напомним, что полным приращением функции Z = f (x,y) в точке M (x,y) , соответствующим приращениям переменных x и y , называется разность . При этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки М (x,у).

Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке М (x,у), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

(2)

где A и B - некоторые независимые от и числа, а и - бесконечно малые при функции, то есть и при и Полным дифференциалом функции z = f(x,y) в точке М(x,у) называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно и , то есть

Дифференциалами независимых переменных x и у назовем приращения этих переменных: Для дифференциала функции z = f(x,y) справедлива формула:

(3)

Для функций многих переменных остаются справедливыми следующие правила:

.

Из и следует , что разность между полным приращением и диф-

ференциалом функции в точке М(x,у) есть бесконечно

малая при более высокого порядка, чем , где - расстояние между точками М(x,у) и Тем самым при достаточно малых и получаем

приближенную формулу которую широко используют в приближенных вычислениях. Эту приближенную формулу перепишем в виде

(4)

Теперь рассмотрим примеры.

Задача 5. Найти дифференциал функции

Решение . 1-й способ. Используем выше указанные правила (1-3)

2-й способ. Воспользуемся формулой (3). Для этого находим частные производные:

Наконец, по формуле (3) получаем

Задача 6. Пользуясь формулой (4), вычислить приближенно

Решение. Искомое число будем рассматривать как значение функции в точке Формулу (4) перепишем так

(5)

где В качестве и возьмем соответственно числа 1 и 2. Следовательно,

Имеем Находим: