9. Системы одновременных (взаимозависимых, совместных) уравнений

Эконометрические модели очень часто строятся не только в виде отдельных уравнений, но и целых систем уравнений.

Такие системы уравнений обычно делят на 3 класса:

1)Системы независимых уравнений

у ₁=а₁₀+а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1mх_m

у₂=а₂₀+а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2mх_m

.

.

у_n=а_n0+а_n1х₁+а_n2х₂+…+а_nmх_m

В такой системе каждое уравнение можно рассматривать как самостоятельное, и его параметры находятся с помощью обычного МНК.

2) Системы рекурсивных уравнений

у ₁=а₁₀+а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1mх_m

у₂=а₂₀+а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2mх_m+b₂₁y₁

y₃=а₃₀+а₃₁х₁+а₃₂х₂+…+а_3mх_m+b₃₁+y₁+b₃₂y₂

.

.

.

у_n=а_n0+а_n1х₁+а_n2х₂+…+а_nmх_m+b_m1y1+b_m2y2+…+b_n,n-1y_n-1

Специфика такой системы заключается в том, что в каждом уравнении разный набор независимых (экзогенных) и зависимых (эндогенных) переменных, но каждое уравнение всё равно может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются с помощью обычного МНК.

3)Система взаимозависимых (одновременных) уравнений

у ₁=а₁₀+а₁₁х₁+…+а_1mх_m+b₁₂y₂+b₁₃y₃+…+b_1,n-1y_n-1

у₂=а₂₀+а₂₁х₁+а_2mх_m+b₂₁y₁+b₂₃y₃+…+b_2,n-1y_n-1

y₃=а₃₀+а₃₁х₁+…+а_3mх_m+b₃₁y₁+b₃₂y₂+b₃₄y₄+…+b₃,_n-1yn-1

.

.

.

у_n=а_n0+а_n1х₁+…+а_nmх_m+b_nmх_m+b_n1y₁+b_n2y₂+…+b_n,n-1y_n-1

В такой системе одни и те же переменные у₁ , y₂ и т.д. одновременно выступают как зависимые (эндогенные) в одних уравнениях, а в других - как независимые(экзогенные) переменные.

Здесь каждое уравнение не может рассматриваться самостоятельно, и обычный метод наименьших квадратов (МНК) не применим.

Такая система также называется структурной формой эконометрической модели.

Для поиска параметров уравнений такую систему преобразуют в другую форму, которая называется приведённой формой эконометрической модели.

4)Приведённая форма системы одновременных уравнений.

у ₁=d₁₁х₁+d₁₂х₂+…+d_1mх_m

y₂=d₂₁х₁+d₂₂х₂+…+d_2mх_m

.

.

.

y_n=d_n1х₁+d_n2х₂+…+d_nmх_m

Здесь эндогенные переменные отделены от экзогенных переменных, то есть приведенная форма модели – это фактически система независимых уравнений.

При преобразовании систем регрессионных уравнений в приведенную форму вначале преобразуются исходные статистические данные, таким образом, чтобы выразить все переменные в отклонениях от их среднего уровня, предполагая, что новые значения переменных равны:

Тогда можно рассматривать регрессионное уравнение без свободного члена a₀.

Структурная форма эконометрической модели, как уже было отмечено - это система одновременных уравнений. Здесь одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую часть системы, т.е. одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях, и как независимые в др.

Структурная форма модели (СФМ) содержит эндогенные или зависимые переменные (у), причем их число равно числу уравнений в системе, а также и экзогенные переменные (х)-предопределенные или зависимые переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них.

Рассмотрим расчет параметров такой модели на примере.

П ростейшая СФМ имеет вид системы из двух уравнений:

у₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁+ε₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₂x₂+ ε ₂.

СФМ позволяет увидеть влияние любой экзогенной переменной на значения эндогенной.

СФМ в правой части содержит коэффициенты: при у – bi, при х – aj, которые называются структурными коэффициентами модели.

Все переменные выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. здесь под х и у подразумеваются, соответственно, переменные:

Поэтому у этих уравнений нет свободных членов.

Так как непосредственное использование МНК для оценивания структурных коэффициентов невозможно (получатся смещенные и несостоятельные оценки), СФМ преобразуется в ПФМ (приведенную форму модели).

ПФМ представляет собой систему линейных функций, выражающих зависимость эндогенных переменных от экзогенных.

Коэффициенты ПФМ представляют собой нелинейные функции коэффициентов СФМ.

Например, для СФМ в виде системы из 2-х уравнений:

у ₁=b₁₂y₂+a₁₁x₁

y₂=b₂₁y₁+a₂₂x₂;

ПФМ имеет вид следующей системы уравнений:

у ₁= δ₁₁*х₁+ δ₁₂ *x₂

y₂= δ₂₁ *х₁+ δ₂₂ x₂, где δij может быть выражена через aj и bi.

Для примера найдем параметры первого уравнения из ПФМ. Выразим из первого уравнения СФМ у₂. у₂=(у₁-а₁₁х₁)/b₁₂. Подставим значение у₂ во второе уравнение СФМ и получим:

(у₁-а₁₁х1)/b₁₂=b₂₁у₁+а₂₂х₂.

Из данного равенства выражаем у₁=[а11/(1-b₁₂*b₂₁)]*х1+[а₂₂*b₁₂/(1-b₁₂*b₂₁)]*х₂. Пусть [а₁₁/(1-b₁₂*b₂₁)]= δ₁₁, а [а₂₂*b₁₂/(1-b₁₂*b₂₁)] = δ₁₂, тогда получим ур-е ПФМ вида у₁= δ₁₁*х₁+ δ₁₂ *x₂ (первое ур-е системы ПФМ). Аналогично находится второе уравнение системы ПФМ.

ПФМ хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, аналитически уступает СФМ, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязей между эндогенными переменными.

При расчете параметров СФМ возникает так называемая проблема идентификации, т.е. однозначного соответствия между параметрами приведенной и структурной формы эконометрической модели.

Вообще говоря, число параметров структурной формы модели обычно превышает число параметров приведенной формы модели, то есть на основе параметров ПФМ нельзя однозначно определить параметры СФМ. В приведенной форме модели (ПФМ) число параметров в наиболее общем случае равно n∙m, где n – число уравнений (или, что то же самое, число эндогенных переменных y_j), а m – число независимых (экзогенных) факторных переменных x_i. В структурной форме модели (СФМ) число параметров больше, т.е. равно n∙m+n(n-1), так как в левой части каждого уравнения, кроме переменных x₁,x₂,…x_m, присутствуют и еще n-1 эндогенных переменных y_j

Поэтому, вообще говоря, нельзя однозначно выразить коэффициенты структурной формы модели через параметры приведенной формы. Для решения проблемы идентификации часто прибегают к разнообразным искусственным приемам. Например, предполагают, что некоторые из параметров структурной модели равны нулю, т.е. сознательно исключают некоторые эндогенные переменные ввиду их слабой взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы. Уменьшение числа структурных коэффициентов может быть достигнуто и другим путем, например, путем приравнивая их друг к другу (вводя предположение о том, что влияние отдельных факторных переменных на эндогенную переменную в левой части уравнения одинаково) или полагая их сумму равной некоторой константе, и т.д.

С позиции идентифицируемости все структурные модели можно разделить на три вида:

- идентифицируемые;

- неидентифицируемые;

- сверхидентифицируемые.

Модель, построенная в виде системы одновременных уравнений, считается идентифицируемой, если все коэффициенты ее структурной формы однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы, т.е. если число ее параметров равно числу параметров приведенной формы.

Модель является неидентифицируемой, если число коэффициентов приведенной формы меньше числа коэффициентов структурной формы. Структурная модель в полном виде (содержащая n эндогенных и m преопределенных переменных) всегда неидентифицируема.

Модель является сверхидентифицируемой, если число коэффициентов приведенной формы больше числа коэффициентов структурной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему одновременных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхиндентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Правило идентификации

Существует следующее общее правило для проверки идентифицируемости каждого отдельного уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемым, необходимо, чтобы выполнялось условие:

D+1=H,

где H – число эндогенных переменных в данном уравнении, а D – число экзогенных (предопределенных) переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, или – иными словами – число переменных, которых не хватает в данном уравнении до полного набора экзогенных переменных.

Если D+1< H, то уравнение неидентифицируемо,

А если D+1>H, то уравнение сверхидентифицируемо.

Прежде, чем использовать ту или иную модификацию МНК для поиска параметров системы одновременной системы, каждое из уравнений проверяется на идентификацию.

Для идентифицируемой системы используется так называемый косвенный МНК, для сверхидентифицируемой – двухшаговый МНК. Если система является неидентифицируемой, то однозначно определить ее параметры нельзя до тех пор, пока искусственным образом не будет уменьшено число ее параметров (то есть переменных).