Вопросы по теоретическому материалу:
Какую дробь называют непрерывной ?
Какую дробь называют подходящей дробью?
Сформулируйте свойства непрерывных дробей.
Разъясните смысл теории календаря.
Как непрерывные дроби связаны с золотым сечением?
Задания для самостоятельной работы:
(номер задания соответствует порядковому номеру в журнале теоретического обучения, по предмету математика)
1 ; 16.Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.
2; 17. Число 1/42 разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 1997-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на 1 влево. Какое число больше: новое или первоначальное?
3; 18. Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3) . 0,(4); в) 0,(9) - 0,(85).
4; 19. Назовем сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещенными. Известно, что запрещенных сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещенных сочетаний.
5; 20. В числе a = 0,12457... n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе . Докажите, что a - иррациональное число.
6; 21. a1, a2, a3, ..., an, ... — возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что an + 1 ≤ 10an при всех натуральных n. Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0, a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.
7; 22. Укажите такое шестизначное число N, состоящее из различных цифр, что числа 2N, 3N, 4N, 5N, 6N отличаются от него перестановкой цифр.
8; 23. Найдите цифры a и b такие, для которых
=
0, bbbbb...
9; 24. Разложите в цепные
дроби числа
и
.
10; 25. Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения ax - by = 1, если
a) a = 101, b = 13; б) a = 79,b = 19.
11; 26. Юлианский календарь. Из астрономии известно, что год имеет 365, 2420...= [365;4, 7, 1, 3,...] так называемых ``календарных суток''. В Юлианском стиле каждый четвертый год — високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического?
12; 27. Персидский календарь. Наиболее точный календарь ввел в Персии в 1079 году персидский астроном, математик и поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365;4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки?
13; 28. Решить уравнение в целых положительных числах
14; 29. Числа из электрической розетки. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что решение имеет следующее двойное неравенство:
15;30. Вычислите следующие цепные дроби:
а) [ 5;
]; б) [ 5;
]; в) [ 2;
].