Самостоятельная работа № 1
по теме «Непрерывные дроби».
Цели: рассмотреть понятие цепной дроби и её приложения, научится применять полученные данные при решении простейших задач.
Краткие теоретические сведения по теме: Непрерывная дробь
Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида
где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
Разложение в цепную дробь.
Любое
вещественное число x может быть
представлено (конечной или бесконечной)
цепной дробью
, где
где х обозначает целую часть числа x.
Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого xn для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью .
Для иррационального x все величины xn будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью .
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.
Подходящие дроби.
n-ой подходящей дробью
для цепной дроби
, называется конечная цепная дробь
, значение которой равно некоторому
рациональному числу
. Подходящие дроби с чётными номерами
образуют возрастающую последовательность,
предел которой равен x. Аналогично,
подходящие дроби с нечётными номерами
образуют убывающую последовательность,
предел которой также равен x.
Эйлер
вывел рекуррентные формулы для вычисления
числителей и знаменателей подходящих
дробей:
Таким образом, величины pn и qn представляются значениями континуант:
Последовательности
и
являются возрастающими.
Откуда следует, что
Примеры
Разложим число π=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
Вторая дробь (22/7) — это известное архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.
В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для .
Третья подходящая дробь: 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[1].
Свойства
Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами.
Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для
неизвестно, конечно ли количество
различных чисел в его разложении
(последовательность A002945 в OEIS).Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
e − 1 = [1;1;2;1;1;4;1;1;6;1;1;8;...;1;1;2n − 2;1;1;2n;...]
Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа x в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n, то говорят, что число x относится к классу F(n). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F(4) и в виде произведения двух чисел из класса F(4).[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса F(3) и в виде суммы 4 чисел из класса F(2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.[4][5]