Інші способи

Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії в залежності від того, який порядок має квадрат: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює зчетвереному непарному числу. Загальний метод побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко застосовуються різні схеми. Знайти всі магічні квадрати порядку n вдається тільки для   , Тому становлять великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів якщо n> 4 . Найпростіша конструкція магічного квадрата - непарного порядку. Потрібно в клітинку з координатами (I, j) поставити число1 + ((i - j + (n - 1) / 2) mod n) n + ((i + j + (n + 1) / 2) mod n).

Ще простіша побудова виконується наступним чином. Береться матриця nxn. Усередині її будується ступінчастий ромб. У ньому клітинки ліворуч вгору по діагоналях заповнюються послідовним поруч непарних чисел. Визначається значення центральної комірки C. Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхня права клітинка - C-1; нижня ліва клітинка - C +1; нижня права - осередок - Cn; верхня ліва клітинка - C + n. Заповнення порожніх клітинок в східчастих кутових трикутниках ведеться з дотриманням простих правил: 1) за рядками числа зліва направо збільшуються з кроком n + 1, 2) по стовпцях зверху донизу числа збільшуються з кроком - n-1.

Також розроблені алгоритми побудови пандіагональних квадратів і ідеальних магічних квадратів 9x9.  Ці результати дозволяють будувати ідеальні магічні квадрати порядків n = 9 (2 k + 1) для   .  Існують також загальні методи компоновки ідеальних магічних квадратів непарного порядку n> 3 . Розроблено методи побудови ідеальних магічних квадратів порядку n = 8k, k = 1,2,3 ...  і досконалих магічних квадратів. 

Висновок

В моїй роботі розглянуті дивовижні магічні квадрати, які будуються з чисел так, що їх сума за різними напрямами є одне й теж саме число! Це не очікувано і дуже цікаво

Я відчув гармонію та красу світу чисел, приєднався у своїх дослідженнях до кола видатних математиків-чоловіків, які в різні часи, в різних країнах захопились створенням чарівних квадратів. Я вважаю, що тема є дуже цікава і варта того, щоб над нею працювати далі-сумлінно, плідно, з задоволенням.

Список використаних джерел

1. laplas.narod.ru/alfavit_1.files/pril_3.htm

2. http://telesmi.narod.ru/new_synthesis/page09.htm - telesmi.narod.ru/new_synthesis/page09.htm

3. Mathline: Magic Squares and Stars - www.pbs.org/teachers/mathline/concepts/historyandmathematics/activity2.shtm (Англ.)

4. В. Є. Єремєєв " Традиційна наука Китаю - science.rsuh.ru / eremeev / china / index.htm ", Глава 5: Математика.

5. М. Макарова " Магічний квадрат Дюрера - www.klassikpoez.narod.ru / dyurer.htm "

6. А. К. Дьюдені " Просіювання числового піску в пошуках простих чисел - www.codenet.ru / progr / alg / chis.php "

7. М. Макарова " Досконалі магічні квадрати - www.klassikpoez.narod.ru / soversh.htm "

8. ↑ ^1 2 Г. Александров " Ідеальні магічні квадрати порядку n = 9 + 18 k , Де   - Renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm "

9. H. Danielsson " Ultramagisches Quadrat 8. Ordnung - www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html " (Нім.)

10. М. Макарова " Ідеальні квадрати парному-парного порядку - www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm "

11. Енциклопедія "Кругосвет": " Магічний квадрат - www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm ".

12. М. Макарова " Методи побудови магічних квадратів (оглядова стаття) - www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm "

13. Г. Александров " Метод побудови ідеального магічного квадрата непарного порядку - renuar911.narod.ru/ideal_mk.html "

14. Г. Александров

    • " Ідеальний panmagic - renuar911.narod.ru/1.htm "

    • " Пандіагональний квадрат порядку 4k - renuar911.narod.ru/MS4k_pan.html "

    • " Програма на Yabasic для побудови пандіагонального квадрата порядку n = 4 - renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm "

15. Г. Александров

    • " Ідеальний магічний квадрат 9 x 9 - renuar911.narod.ru/Ideal_9x9.html "

    • " Ще один ідеальний квадрат 9 x 9 - renuar911.narod.ru/Ideal_9x9_2.html "

16. М. Макарова " Магічні квадрати дев'ятому порядку - www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm "

17. М. Макарова " Пандіагональние квадрати непарних порядків кратних дев'яти - www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm "

18. Г. Александров

    • " Ідеальні магічні квадрати - renuar911.narod.ru/IMSb.html "

    • " П'ять прикладів ідеальних магічних квадратів 21x21 - renuar911.narod.ru/IMS21_5.html "

    • " Ідеальні магічні квадрати будь-якого непарного порядку n> 3 - renuar911.narod.ru/IMS-D.html "

19. Н. Макарова

    • " Ідеальні магічні квадрати. Метод гойдалок - www.klassikpoez.narod.ru / idealob.htm "

    • " Метод побудови ідеальних магічних квадратів непарного порядку за допомогою латинських квадратів - www.klassikpoez.narod.ru / idlat.htm "

20. М. Макарова " Метод побудови ідеальних квадратів порядку n = 8k - www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm "

21. Н. Макарова

    • " Метод побудови скоєних магічних квадратів з оборотних - www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm "

    • " Метод побудови скоєних магічних квадратів за допомогою узагальнених латинських квадратів - www.klassikpoez.narod.ru / latsov.htm "

    • " Побудова досконалих магічних квадратів методом гойдалок - www.klassikpoez.narod.ru/soversh1.htm "

22. Є. Слкуні " Нетрадиційні пандіагональние магічні квадрати 6-го порядку - www.iatp.am / slkuni / gre-la.htm "

23. Н. Макарова

    • " Нетрадиційні магічні квадрати - www.klassikpoez.narod.ru / netradic.htm "

    • " Метод побудови нетрадиційних ідеальних квадратів порядку n = 4k +2 - www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htm ".

24. Г. Александров " Ідеальний нетрадиційний магічний квадрат порядку n = 4k +2 - renuar911.narod.ru/ideal_netra.html

25. Г. Александров " Майже пандіагональние магічні квадрати порядку 4k +2 - renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht "

26. Г. Александров " Ідеальний досконалий магічний квадрат парного порядку - renuar911.narod.ru/ideal_sov.html

27. http://bspu.ab.ru/ ~ festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf - bspu.ab.ru / ~ festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf

• Я. В. Успенський Вибрані математичні розваги - Сіяч, 1924.

• Б. А. Кордемский Математична кмітливість - ilib.mccme.ru / djvu / klassik / smekalka.htm - М .: ГІФМЛ, 1958. - 576 с.

• М. М. Постніков Магічні квадрати - М .: Наука, 1964.

• Н. М. Рудін Від магічного квадрата до шахів - М .: Фізкультура і спорт, 1969.

• Є. Я. Гуревич Таємниця стародавнього талісмана - М .: Наука, 1969.

• М. Гарднер Математичні дозвілля - М .: Світ, 1972.

• Енциклопедичний словник юного математика - М .: Педагогіка, 1989.

• Ю. В. Чебраков Магічні квадрати. Теорія чисел, алгебра, комбінаторний аналіз - СПб. : СПб держ. техн. ун-т, 1995.

• Ю. В. Чебраков Теорія магічних матриць - chebrakov.narod.ru / - СПб. , 2008.

• М. Гарднер Глава 17. Магічні квадрати та куби / / Подорож у часі - publ.lib.ru / ARCHIVES / G / GARDNER_Martin / Puteshestvie_vo_vremeni. [Djv]. Zip - М .: Світ, 1990.

19