1.2 Планируемый факторный эксперимент

Для сокращения количества опытов, необходимых для получения зависимости (1), целесообразно провести предварительное планирование эксперимента. Зависимости между факторами и откликами строятся, как правило, в виде степенных рядов

. (2)

Члены рядов, включающие в себя несколько факторов, отражают совместное влияние факторов на отклик. Подобное уравнение называется уравнением регрессии, а каждое слагаемое (член ряда) регрессором. Соответственно, число точек в плане, ранг матрицы планирования и количество опытов определяются как

, (3)

где m – количество факторов, k – величина учета степени ряда, для линейной зависимости - 2, для квадратичной – 3 и т.д. Матрица полного факторного эксперимента приведена на рис. 1.

Значения факторов представляются в преобразованном виде

, (4)

где x_i – натуральное значение фактора, x_0i – середина интервала вариации, dx_i – интервал вариации фактора. Таким образом, для линейной зависимости факторы принимают значения +1 и –1.

1.3 Оценка степени тесноты связи между факторами и откликом и границы применимости модели

Для оценки степени тесноты связи между факторами и откликом используются коэффициент корреляции или корреляционное отношение. Для определения меры линейной зависимости между величинами служит коэффициент корреляции. Эмпирический коэффициент корреляции определяется по формуле (5)

(5)

где s_x и s_y - оценки среднеквадратичного отклонения (СКО) или эмпирические СКО фактора и отклика, соответственно, n - число опытов или замеров, <x> и <y> - средние значения (МО) фактора и отклика, x_i и y_i - текущие значения фактора и отклика, i - номер замера.

При использовании (при планируемом эксперименте) безразмерных относительных значений факторов (+1 и -1), зависимость (5) упрощается и коэффициент корреляции определяется по формуле (6)

(6)

Коэффициент корреляции - величина безразмерная, абсолютное значение которой изменяется в пределах от 0 до 1. Причем, при r=0, связь между фактором и откликом отсутствует, при r=1, зависимость между фактором и откликом линейна и функциональна. Для оценки значимости регрессора необходимо сравнить коэффициент корреляции, полученный для данного регрессора и отклика, с допустимым заранее принятым значением. При r>[r], считаем, что регрессор значим и им нельзя пренебречь. Обычно, при r=0.3, говорят о наличии слабой корреляции между фактором и откликом. Для инженерных целей допустимое значение коэффициента корреляции можно принять [r]=0.4-0.5. Впоследствии, при построении аппроксимационных зависимостей, необходимо проверить величину максимального отклонения между значением отклика, вычисленным по зависимости, и экспериментальным значением отклика. Она не должна превышать заранее заданную величину (10-20%).

Говоря о составлении уравнений регрессии, необходимо отметить, что последние являются значительно упрощенными моделями объектов и явлений. Поэтому, их использование возможно только в определенных пределах, которые называются границами применимости модели. Проиллюстрировать данный подход целесообразно на простом примере (рис. 2).

Рис. 2 Графики нелинейной и линейной функций.

На рисунке представлена экспоненциальная функция f(x). Заменяя ее на отрезке b,a линейной функцией s(x), мы видим, что величина отклонения dy=f-s незначительна, и им можно пренебречь. Тогда как, выходя за границы интервала b,a, на отрезке a,c величина отклонения многократно возрастает, и модель s(x) становится не применима.