Глава II.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ УСЛОВИЙ, КОГДА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИССЛЕДУЕМЫХ ПРОЦЕССОВ ОПИСЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ РЕГРЕССИИ

Как уже отмечалось выше (см. рис. 1), при решении задач исследования операций могут применяться различные по своему характеру и степени абстракции математи­ческие модели.

В настоящей главе кратко рассматривается порядок определения оптимальных ре­шений для случая, когда математические модели исследуемых процессов или явлений заданы в виде уравнений регрессии.

§ 3. Виды математических моделей, описываемых уравнениямл регрессии

При использовании статистических методов математические модели чаще всего представляются в виде следующих зависимостей, называемых уравнениями регрессии. Многофакторная линейная модель

где у — функция отклика, параметр оптимизации (расчетное значение, получаемое

на основе обработки опытных данных); X'_L _ факторы, оказывающие влияние на функцию отклика;

Dj, — коэффициенты при факторах. Многофакторная квадратичная модель

Поскольку в реальном процессе всегда существуют_лнеупрацляемые и неконтроли­руемые переменные, постольку изменение величины Y носит случайный характер. Это значит, что получаемые на основе обработки опытных данных выборочные коэффициенты В₁ , Bg. ,.. •, Ё>_а, являются лишь оценками действительных коэффициен­тов уравнений регрессии.

При вычислении выборочных коэффициентов регрессии, как правило, применяется метод наименьших квадратов (см. [ 11 ], [ 17 ] и др.).

§ 4. Дискриминация математических моделей, описываемых с помощью уравнений регрессии

Выбор из выше приведенного перечня (§3) наиболее подходящей математической модели, как уже отмечалось выше, является важной задачей. Указанная задача реша­ ется путем дискриминации, т.е. путем браковки худших и отбора лучшей модели. Для решения задач дискриминации математических моделей поступают следующим образом. Вначале вычисляют ошибку аппроксимации для каждого из уравнений регрессии по формуле , ■—

где С < у\_лпГ[п ~ ошибка аппроксимации (среднее квадратическое отклонение рас— ■и ' четного значения функции отклика от опытного значения);

■■•Ч ОПЫтН- — опытное значение функции отклика;

j. — расчетное значение функции отклика, отвечающее заданному ви-

ду уравнения регрессии; 1/ — число испытаний;

с\ — число значащих коэффициентов математической модели. Единица вычитается для того, чтобы оценка не была смещенной.

Далее на основе полученных ошибок аппроксимации производится последователь­ное сравнение и дискриминация рассматриваемых моделей.

Указанная процедура производится с помощью следующего альтернативного соот­ношения

где ГрДСЧ. ~ критическое значение критерия Фишера, вычисляемое при заданном

уровне значимости °С и заданных числах степеней свободы К^ боль— : шей дисперсии и К^ меньшей дисперсии.

§ 5. Проверка математической модели на адекватность

После дискриминации моделей и отбора из них лучшей производится проверка отобранной модели на адекватность. Указанная процедура производится с помощью следующего альтернативного соотношения:

где N — общее число опытов с учетом параллельных опытов. Общая дисперсия вы­числяется по формуле