§27. Математическая формулировка задачи линейного программирования

После рассмотрения начальных сведений и рассмотрения порядка решения задач линейного программирования графическим способом дадим математическую форму­лировку задачи линейного программирования.

Обычно задача линейного программирования формулируется так: найти оптима,ль-ный план Y*.*, обеспечивающий максимальное (или минима,льное)значение линейной формы

В матричной форме задача линейного программирования формулируется так: найти оптимальный план X *, обеспечиваюший максимальное (или минимальное) значение линейной формы max L = С X , при ограничениях А X = В, X £ 0, Е> £ О, где

Fnc.zb. Система векторов, образуемая матрицей второго порядка

Напомним также, что система ограничений в задачах линейного программирования (см. ограничения 2) представляет собой результат матричного перемножения двух матриц. Так, например, система двух уравнений с двумя неизвестными

Система ограничений (2) может быть записана в векторной форме, например, для сис­темы двух уравнений с двумя неизвестными имеем

При решении задач линейного программирования систему ограничений чащевсег рассматривают в векторной форме, в которой вектора А^, /\^.... А_ппредставляю собой векторы-столбцы.

§ 28. Разрешимость системы ограничений в задачах линейного программирования

Система ограничений переменных в задачах линейного программирования может быть в следующих трех состояниях*

• совместна и определена, имеем одно единственное решение;

• несовместна, противоречива и решений не имеет;

• совместна, но не определена, имеет множество решений.

В курсе линейной алгебры доказывается теорема Кронекера-Капелли, согласно которой: ■

- система совместна и определена. В этом случае ранг исходной матрицы совпа-| дает_с рангом расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е. когда Ч (А) =

= Ч (А) = П. ; (А - расширенная матрица);

• система противоречива. В этом случае ^>анг исходной матрицы меньше ранга расширенной матрицы, т.е. когда Ч(А) < Ч(А) ;

• система совместна, но не определена. В этом случае ранг исходной матрицы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа переменных, т.е. когда Ч(А) - = Ч(А) <П. (см. [19] и др.).

Указанный третий случай с точки зрения решения задач линейного программиро­вания является наиболее интересным, т.к. при решении задач линейного программиро-| вания из множества решений выбирают наилучшее.

Примечание. Понятие ранга матрицы дается ниже (см.§31).

§29. Решение экономических задач методом линейного программирования

Пример 11. Цех изготавливает два вида изделий А и Б. На изготовление изде­лия А требуется 5 кг стали и 9 кг меди. Для изготовления изделия Б требуется 10 кг стали и 3 кг меди. Реализация одного изделия А дает цеху доход в 200 руб., а изде­лия Б - 150 руб. Требуется найти оптимальный длан X* выпуска изделий вида А и Б, при котором цех будет получать максимальный доход. Запасы ресурсов приведены} в таб,л.15.

Таблица 15. Нормы потребления сырья для производства изделий

Ресурсы	Потребит	ели	Суточный лимит рас-
	Количество изделий А(х1)	Количество изделий Б(х2)	хода материала
Сталь	аи = 5	а12= 10	Ьг = 500
Медь	а21-9	а 22 * 3	Ь2 = 270
Доход от одного изделия	С} = 200 руб	с2 = 150 руб

Решение. 1. Составляем линейную форму (модель задачи)

maxL = С₁Х₁+С₂Х_г = 200ЭС₁ + 150 Х_г ,

где Xi и Х-2_ — количество изготавливаемых изделий А и Б. 2. Формируем ограничения по переменным

^а 11 ^Х1 ^{+ а} 12 ^Х2 < Ь 1 \ 5 xj + 10 Х2 ^ 5001

^а21 ^Х1 ^{+ а}22 ^Х2 ^ ^2 J 9 xj + 3 х₂ ^ 270 / .

3«.Решаем задачу графически, для чего наносим на плоскость ХОУ ограничения и след линейной функции, т.е. опорную линию. Перемещая опорную линию параллельно

Рис.27. Решение экономической зада­чи графическим способом: 1 — ниж­няя опорная линия; 2 — верхняя опор­ная линия

самой себе, находим (рис. 27) верхнюю вершину области существования функции, в которой линейная форма имеет наибольшее значение (это точка Д/(1б; 42, ).Указанной вершине отвечает оптимальный длан X * = II 16,42 (|. Это значит, что для получения наибольшего дохода цех должен производить 16 деталей видаА и 42 детали вида Б. Оптимальному цлану отвечает следующее наибольшее значение линейной формы

mouoL = 200 х₂ + 150х₂ = 200- 16 + 150- 42 = 9500 руб.