§26. Решение задач линейного программирования графическим способом

Проиллюстрируем порядок определения экстремума линейной функции графическим способом, на переменные которой наложены ограничения в виде линейных неравенств. Как будет показано ниже, ограничения на переменные образуют собой область существования функции 2. , которая обозначается ОДР.

Пример 10. Задана линейная функция Ъ = Х- +3^ , на переменные которой наложены ограничения¹: 2 Х-у ^ 5 ; 2У~Х 5-5 и Х ⁺ у ^ 4 . Требуется построить область существования функции и найти ее максимальное и минимальное значения. Решение. Наносим ограничения и след функции Ъ на координатную плоскость (см. рис.23).

Рис. 23. Решение задачи линей­ного программирования графи­ческим способом

Рис.24. Область существования линейной функции двух переменных 2. для двумерного случая: а) —замкнутая область; б) —незамк­нутая область

След (линия), отвечающий функции 2. на плоскости ХОУ, называется опорной линией. В полном курсе линейного программирования доказывается теорема, что ли­нейная функция, на переменные которой наложены ограничения, может достигать эк­стремума только в вершинах области ее существования. Поэтому при графическом способе для определения экстремума линейной функции, опорную линию перемещают пара,дле,льно самой себе (перпендикулярно вектору—градиенту) до ее соприкосновения с вершинами области ее существования (области ОДР). Для рассматриваемого приме­ра область существования функции представляет собой треугольник. Значения линей­ной функции в вершинах указанного треугольника, составляют:

Таким образом экстремумы заданной функции найдены. В рассматриваемом случае задача решается сравнительно просто, т.к. область существования функции имеет всего лишь три вершины. В общем случае при решении задач линейного программиро­вания область существования функции может быть представлена не только треуголь­ником, но и многоугольником. При этом она может быть замкнутой и незамкнутой (см. рис. 24).

Для трехмерного пространства область существования функции уже представляет собой многогранник, который может быть правильным и неправильным. Это значит, что в этом случае область существования функции может собой представлять, напри­мер, тетраэдр (4 вершины), икосаэдр (12 вершин), додекаэдр (20 вершин) и какой- либо неправильный многогранник ^см. рис. 25).

Для четырех-,пяти-и у\ ^-мерного пространства область существования линейной функции, на переменные которой наложены ограничения, уже не может быть представ­лена графически.

Рис.25. Области существования линейной функции для трехмерного пространства

Очевидно, что число вершин указанных многоугольников, в одной из которых функ­ция Н. достигает своего максимума и в другой минимума, может быть значительным, Поэтому простой перебор всех вершин многогранников (называемый методом скани­рования) связан с весьма трудоемкими вычислениями. Как будет показано ниже, при решении задач линейного программирования любой рложности применяется, так назы­ваемый, "симплексный метод", согласно которому переход совершается от худшей вершины только к лучшей. Поэтому любая сложная задача с помощью симплексного метода решается за небольшое число итераций, т£. приближений.