§ 20. Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием в очереди при ограничении длины очереди

Рассмотрим теперь другой вид системы массового обслуживания, когда прибывшая заявка в случае, если все каналы к моменту ее прибытия заняты, не покидает станцию, а становится в очередь. Однако заявка может стать в очередь только при условии, что имеется место для ожидания. В противном случае заявка покидает очередь.

Проидлюстрируем порядок вычисления числовых характеристик функционирования системы массового обслуживания для заданных условий. Предположим, что система имеет в своем распоряжении П. каналов и 1"°- мест для ожидания в очереди. После того, как все места для ожидания в очереди заняты, прибывшая заявка получает отказ ■и немедленно покидает очередь (см. рис. 17). Из графа состояний системы (рис. 17)

Рис.17. Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием в очереди с ограничением длины очереди (S — число занятых мест)

видно, что, включая состояние Х_п очереди нет. Затем возникает очередь. Из графа состояний видно также» что поток, переводящий систему слева направо, определяется длотностью Л. . Что же касается потока событий, переводящего систему справа налево, то до возникновения очереди он равен /tt, Z /Ч-, 3/Л-, - - - Tl /U. . Пос.ле возникнове­ния очереди указанный поток остается постоянным и равным ТХ/Ы .

Пользуясь правилом "Что втекает, то и вытекает", можно вычислить вероятности состояний системы (см. табл. 11).

Сумма вероятностей всех состояний системы должна быть равна единице, т.е.

Поясним порядок вычисления вероятностей состояний многоканальной системы с ожиданием в очереди при ограничении длины очереди.

Пример 7. Исследуется функционирование станции технического обслуживания ав­томобилей с ожиданием в очереди. Станция имеет в своем распоряжении два канала (П.= 2) и четыре места для ожидания в очереди (ТП= 4). После того, как все места для ожидания в очереди заняты, машины получают отказ. На станцию поступает простейший пуассоновский поток заявок с плотностью А. = 2 автомобиля в час, а время обслужива­ния распределено по показательному закону и характеризуется средней продолжитель­ностью, равной М ^ овсЛ-⁼ ^ часа на автомобиль. Требуется построить граф состояний системы и вычислить числовые характеристики функционирования станции за десяти­часовой рабочий день.

Выводы. В рассматриваемой задаче была решена задача анализа, когда при за­данных внешних условиях А. , заданных параметрах внутренней структуры систем! /U. и заданных стратегиях п. и^тп. были определены критерии эффективности фун ционирования системы массового обслуживания. Указанные сведения используются; планирующими органами для составления месячного, квартального и годового плана работы станции.

§ 21. Замкнутые системы массового обслуживания

Наряду с открытыми системами в практике имеются так называемые закрытые, т.е. замкнутые системы. Например, ремонтные мастерские, обслуживающие парк бульдозеров, скреперов, автогрейдеров, экскаваторов и др. видов дорожных машин данного строительного управления, являются закрытой системой массового обслуж,| вания.

Отличительной особенностью замкнутых систем является то обстоятельство, чи машины (заявки) в указанных системах не покидают очередь до тех пор, пока не бу­дут обслужены. Это значит, что длина очереди или пропорциональное ей время прей вания в очереди не ограничивается заданным числом мест TW , и можно считать vi TTL-» оо.

Для замкнутых систем выходящий поток каждой фазы является входящим для с* дующей фазы.

В связи с этим формула для определения вероятности Р. приобретает следую! вид

А

I Для установившегося режима (когда гл. -► ~ ) такое состояние системы может быть I только при выполнении следующего условия:

Наличие указанного условия является следствием особенности рассматриваемого процесса, сущность которого состоит в том, что заявка, ставшая в очередь, рано или поздно будет обязательно обслужена.

Это значит, что выше указанная сумма представляет собой бесконечно убывающую прогрессию и второе слагаемое равно нулю

; Заметим, что при исследовании замкнутых систем массового обслуживания обычно , решается не задача ана,лиза, а задача синтеза оптимальных решений, т.е. определяют ! оптимальное количество ремонтных постов, при котором будет обеспечиваться опти— [ мальный доход для заданного парка дорожных машин или парка автомобилей.

Для этого рассчитывают и строят график, на который наносят кривую удельных зат­рат на содержание заданного количества ремонтных постов (см. рис. 19, кривая N 1).

Рис. 19. Определение оптимального количества ремонтных постов для закрытых систем массового обслуживания

На указанный график наносят также кривую удельных затрат от простоя машин в ожи­дании ремонта (см. кривую J\f 2). Суммируя указанные кривые, получают суммарный график (см. кривую № 3). На график наносят также кривую удельного дохода (см. кри­вую № 4).

На основе построенного графика определяют в некоторых пределах (от — О До +6) оптимальное количество ремонтных постов, при котором организация процесса с экономической точки зрения будет наилучшей. Этим самым решается задача по опре­делению оптимального решения организации рассматриваемого технического процес­са. Заметим также, что задачи теории массового обслуживания могут решаться не только с помощью полученных формул, но и с помощью рассматриваемого ниже мето­да статистического моделирования.

Примечание. Подробный порядок построения графика, приведенного на рис. 19, см. пособие; Зарубкин В.А. "Оптимизация системы технического обслуживания и ре­монта автомобилей в АТП". МАДИ, 1976 г.

Г лава VII-

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ