§ 2. Математическое моделирование

В математике обычно рассматриваются не реальные объек­ты, а некоторые их модели. Модель — это отображение иссле­дуемой системы или некоторых интересующих нас явлений (процессов, событий). Модели используются в целях управле­ния и прогнозирования (предсказания) возможной эффектив­ности системы в случае изменения ее характеристик. Они позво­ляют объяснить интересующие нас явления и выявить взаимо­связь отдельных явлений, а также заменить дорогостоящие и сложные испытания систем в реальной обстановке. Моделиро­вание осуществляется с целью усовершенствования системы, а также для ознакомления и обучения персонала с системами и ситуациями, которые трудно осуществить в реальных условиях. С помощью модели можно проверять или демонстрировать новые идеи, получать количественную оценку при различных вариантах управления. Деятельность, например, автотранспорт­ного предприятия можно рассматривать в замедленном или ускоренном темпе. При моделировании можно заглянуть вперед и рассмотреть «будущее» состояние системы.

Моделирование систем может осуществляться на ЭЦВМ, что обеспечивает лучшее понимание принципов их работы и изу­чение процессов принятия решений. На таких машинах за не­сколько минут можно воспроизвести целые месяцы работы системы, учесть ряд случайных факторов (например, атмосфер-но-климатические и дорожные условия). Моделирование приме­нимо при обучении инженерно-управленческого состава с помо­щью «деловых игр». Такая игровая модель позволяет модели­ровать целую отрасль народного хозяйства, министерство, уп­равление, трест или предприятие. Модели широко используются для оптимизации систем, и это является основным научным принципом в исследовании операций.

Модели можно разделить на три типа: изобразительные (портретные), аналоговые и символические (логико-математи­ческие).

Изобразительные (портретные) модели или модели геомет­рического подобия точно копируют оригинал и отражают внеш­ние характеристики системы — фотографии, макеты производ­ственных корпусов, ситуационные планы, модели автомобилей или двигателей и т. д. С помощью этих моделей можно описать явление (объект), но нельзя объяснить или установить причин­ные связи и предсказать возможные изменения.

Аналоговые модели служат для представления протекания переходных процессов в различных механических и электриче­ских системах и связывают свойства оригинала с другими более наглядными свойствами. Эти модели позволяют, например, представить дорожную сеть линиями разного цвета или рельеф местности с помощью горизонталей. Температура воздуха, на­пример, представляется графически по высоте уровня в термо­метре и т. д.

В более сложных логико-математических (символических) моделях используются символы математического или логиче­ского характера для отображения свойств системы и объясне­ния явлений. Различают два метода решения и анализа этих моделей: аналитический (дедуктивный) и численный (индук­тивный). Аналитические модели базируются на аналитических формульных зависимостях между параметрами задачи (алгеб­раические, дифференциальные и другие уравнения).

Обычно при решении практических задач, основанных на исследовании операций, приходится рассматривать несколько последовательных и взаимосвязанных частей (стадий). К ним относятся постановка (формулировка) задачи; составление ма­тематической модели управляемой системы; составление плана, проведение контрольных экспериментов и отыскание решения с помощью этой модели; проверка данной модели и принятие решения, уточнение решения и применение его на практике. Схематическое изображение этих стадий представлено на рис. 10.

Как видно из схемы рис. 10, математическая модель играет основную роль в методологии (методе) исследования операций. Решение данной задачи с помощью математической модели позволяет сформулировать и оценить альтернативу (необходи­мость выбора одного из двух единственно возможных решений) и выбрать окончательное решение, которое затем будет приме­нено на практике.

Рис. 10. Схема принятия решений.

В общем виде математическую модель можно представить одним или несколькими уравнениями типа /(a,-, xi, уд—О, где а,- — неуправляемые (постоянные) переменные; xi — управляемые переменные системы; yt — неизвестные переменные. Ограничения, наложенные на переменные, выражаются дополнительной системой равенств или неравенств.

Наиболее простой моделью является такая, когда все факторы, от которых зависит исход операции, можно разделить на заранее известные, на которые нельзя повлиять (а_ь а», . . .),и зависящие от нас факторы, которые можно изменять по своему усмотрению {х\, Х2, ...). В этом случае задача исследования операций мате­матически формулируется так: при заданных условиях а.\, а.2 ...

найти такие элементы решения х\, х? ..., которые обращают показатель Э в максимум (минимум). Символически такую модель запишем в виде

Модели на максимум и минимум просто решаются известным методом путем дифференцирования по аргументу (одному или нескольким) и приравнивания производной нулю. В тех случаях, когда аргументов х\, х₂, ... много, или когда область их изме­нения ограничена, аналитическое решение уравнений становится очень сложным или вообще невозможным. Если в модели есть два параметра х\ и х₂, которые можно менять, следует взять частные производные от Э по х\ (дЭ/дх\) и по х₂ (дЭ/дх₂), затем оба выражения приравнять к нулю и решить относительно х\ и х₂.

На практике значительно чаще встречаются случаи, когда не все условия проведения операции заранее известны. При этом эффективность операции будет зависеть уже от трех категорий факторов. Кроме заранее известных факторов аь а₂, ... и фак­торов X], х₂, . . ., которые можно изменять по своему усмотре­нию, появляется третья группа факторов г/i, у₂, ..., которые неизвестны. В этом случае математическая модель представляется в несколько илом виде: f(a_u а₂, .. .; х\, х₂, .. .; у\, у₂, .. .) = 0.

В качестве одного примера построения математической моде­ли рассмотрим модель расхода топлива при эксплуатации гру­зовых карбюраторных автомобилей в различных условиях. Расход топлива (критерий эффективности) в автотранспортных предприятиях определяется по следующей формуле (л):

где Н_о — основная норма расхода топлива на перемещение пустого автомобиля в конкретных условиях, л/100 км; Н_д — дополни­тельный расход топлива на перемещение груза в данных усло­виях работы автомобиля, л/100 т-км; W — выполненная транспорт­ная работа, т-км; 1_С — суточный пробег автомобиля, км; к_т — коэффициент, учитывающий температуру воздуха.

Основная норма расхода топлива (л/100 км) определится из выражения [5]

Дополнительная норма расхода топлива (л/100 км) на пере­мещение 1 т груза в данных условиях работы автомобилей

На расход топлива влияет температура окружающей среды. Коэффициент, учитывающий температуру воздуха, к_т = (1,045 — — 0,003 • /_в), где U — температура воздуха (с минусом, если ниже нуля; с плюсом, если выше).

В окончательном виде

Коэффициент суммарного дорожного сопротивления <|> и пере­даточное число t_K могут быть определены с учетом скорости дви­жения автомобиля по формулам

где и_тах — максимальная скорость автомо­биля, км/ч.

Рис 11. Модель подвески автомо­биля.

Последнее выражение является матема­тической моделью расхода топлива грузо­вого карбюраторного автомобиля. В этой модели некоторые переменные являются постоянными (неуправляемыми). К управ­ляемым переменным можно отнести ско­рость автомобиля,транспортную работу, ка­чество топлива, лобовую площадь автомоби­ля, сопротивление дороги, передаточное чис­ло коробки передач и др. С помощью этой модели можно осуществлять анализ и нормирование расхода топ­лива для различных вариантов эксплуатации автомобиля, нахо­дить оптимальное значение расхода топлива и управлять движе­нием автомобиля по критерию минимума расхода топлива.

Многие механические, электрические, экономические и дру­гие системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Например, колебания подрессоренных и неподрес-соренных масс автомобиля (рис. 11) при движении по неровной дороге можно описать следующими дифференциальными урав­нениями:

Последние два уравнения являются математической моделью колебания кузова и заднего моста. Из этой модели можно опре­делить перемещение кузова z и колес х, ускорения кузова z" и колес х", относительные перемещения кузова и колес (2 — х), модули передаточных функций для порожнего и груженого автомобилей при различной частоте возмущающей силы. Частота пропорциональна скорости движения автомобиля и обратно про­порциональна средней длине неровностей.

Для описания сложных операций с большим количеством взаимосвязанных постоянных и случайных элементов (машины, люди, системы) приходится применять статистическое модели­рование или статистическое испытание (метод Монте-Карло). Суть его сводится к тому, что производится «розыгрыш» слу­чайного явления с помощью некоторой процедуры (например, путем подбрасывания монеты), дающей случайный результат. Производя такой «розыгрыш» большое количество раз, можно получить необходимый статистический ₍ материал (множество реализаций случайного явления), который затем подвергается обработке обычными методами математической статистики. Мо­делирование может также

осуществляться С помо- Таблица 3

Шаг	Случайные числа первая вторая цифра цифра		X	у
1	3	6		1
2	0	2	0	2
3	4	4	1	3
4	0	5	2	2
5	2	5	3	1
6	4	1	4	0
7	8	8	5	1
49	0	3	7	7
50	7	2	8	6

щью специальных таб­лиц случайных чисел.

В качестве примера такого моделирования рассмотрим движение такси в крупном населен­ном пункте (городе). Для такси дальность поездки и количество пассажи­ров — случайные вели­чины. Суточная произво­дительность зависит от территории города, коли­чества такси на 1000 чел и других факторов. Движе­ние такси можно уподо­бить броуновскому движению молекул в жидкости, увеличенно­му во много раз. Для описания движения такси используются аналитические зависимости, известные из физики для описания движения молекул. Более просто эту задачу можно решить, при­менив метод Монте-Карло.

Такси в течение дня совершает п случайных поездок. Сред­нее расстояние (км) поездки пассажира в городе установим по приближенной формуле /„ = (1,2 + Q,VVF), где/⁷—площадь дан­ного города, км². Например, в городе с F = 300 км² /„^4,0 км. В табл. 3 рассмотрено п шагов (ездок такси). Для каждого шага из таблицы случайных чисел выбраны последние две цифры. Если цифра четная или 0, принимаем х или у плюс 1, если нечетная — минус 1. После 50 шагов (ездок) такси окажется в точке города с координатами х = 8, у = 6. На рис. 12 показан возможный вариант движения такси в городе.

Существуют и другие модели. Например, модели транспорт­ных процессов в задачах линейного программирования. Различ­ные модели обслуживающих систем анализируются с помощью теории массового обслуживания. Широкое практическое приме-

нение находит моделирование комплексов работ с помощью сетевых графиков. Эти модели рассмотрены ниже.

Рис. 12. Модель движения такси.