3. Формулы полной вероятности и Байеса.

Задача 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет m_i % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i -го завода n_i % первосортных. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом, если оно оказалось первого сорта.

Решение (для нулевого варианта: m₁ =20, m₂ =30, m₃ =50, n₁ =70, n₂ =70, n₃ =90). Введем обозначения. Событие А – куплено первосортное изделие. События, заключающиеся в том, что купленное изделие выпущено первым, вторым или третьим заводом - В₁, В₂, В₃ (гипотезы, при выполнении которых может произойти событие А). - вероятность события А, при условии, что В_i произошло, т.е. что изделие оказалось i-ого завода. В задаче требуется найти - вероятность того, что купленное изделие изготовлено j-тым заводом, если оно оказалось первого сорта.

Воспользуемся формулой Байеса. .

По условию задачи Р(В₁) = _{= ,}

Р(В₂) = =0,3; Р(В₃) = = 0,5.

= 0,7 (70%), = 0,7 (70%), = 0,9 (90%).

Подставляя эти значения в формулу Байеса, получим:

= =0,175.

Ответ: = 0,175

4. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Задача 4. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна р. Куплено n билетов. Найти: а) наивероятнейшее число выигравших билетов; б) соответствующую вероятность.

Решение (для нулевого варианта: p=0,3; n=13). Наивероятнейшее число выигравших билетов k₀ определяется из двойного неравенства np–q ≤ k₀ < np+p, где (q=1–p). А вероятность того, что из 13 купленных билетов выигравших билетов окажется ровно k₀ находится по локальной теореме Лапласа (т.к. n ≥ 10): , где x= . Подставив значения n и p, заданные для своего варианта, получим:

а). np–q ≤ k₀ < np+p, => 3,9-0,7 ≤ k₀ < 3,9+0,3 => k₀ = 4.

б). , где φ(х)= , х= = .

Значения функции φ(х) для вычисленного значения х находятся по специальным справочным таблицам, которые имеются во всех учебниках, пособиях и справочниках по теории вероятности. Для х=0,06 находим φ(х)=0,3982. А искомая вероятность =0,24

Ответ: k₀ = 4, Р₁₃(4)=0,24.

Задача 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:

Варианты 0-11- k₁≤m≤ k₂; варианты 12-21- m≤ k₁; варианты 22-31- m≥k₂.

Решение (для нулевого варианта: n=400, p=0,8, k₁=300. k₂=350). Вероятность того, что число появлений события А в n независимых испытаниях попадет в некоторый интервал [k₁,k₂] определяется интегральной теоремой Лапласа: Р_n(k₁,k₂)= 1/2(Φ(X") –Φ(X')), где Φ(X)= - функция Лапласа, X'= , X"= . Значения функции Лапласа для вычисленных значений X' и X" находятся по специальным справочным таблицам, которые имеются во всех учебниках, пособиях и справочниках по теории вероятности. Следует учесть, что Φ(X)— нечетная функция, т.е. Φ(-X)= - Φ(X).

X'= = ; Φ(-2,5)= -0,9876; X"= = ; Φ(1,25)= 0,7887

Р_n(k₁,k₂)= 1/2(Φ(X") – Φ(X'))= 0,7887-(-0,9876)= 0,8882

Ответ: Р₄₀₀(300,330)=0,8882.