22 Гармонические колебания. Уравнение малых колебаний. Его решение. Собственные колебания. Начальные условия. Энергия собственных колебаний

Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени.

Максимальная кинетическая энергия осциллятора равна его максимальной потенциальной энергии. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

23Сложение одномерных гармонических колебаний. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу.

Биения – колебание, возникающее в результате сложения двух гармонических колебаний,

происходящих в одном направлении с разными, но близкими частотам

Фигуры Лиссажу – замкнутые траектории точки, совершающей в плоскости одновременно два взаимно-перпендикулярных колебания с частотами, отношение которых является рациональным числом.

24Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Случай большого трения.

25Вынужденные колебания. Резонанс. Добротность.

26Волны в сплошной среде. Амплитуда, фаза и скорость распространения волны. Волновое уравнение. Стоячие волны. Эффект Доплера для волн в сплошной среде.

Стоячие волны – волны, являющиеся результатом наложения 2-х одинаковых бегущих волн, но распространяющихся в противополож направлнениях. Не переносит энергию в пространстве

27 Основные постулаты СТО. Преобразования Лоренца. Предельный переход к преобразованиям Галилея. Следствия из преобразований Лоренца. Экспериментальное подтверждение замедления хода движущихся часов. Парадокс близнецов. Релятивистские формулы сложения скоростей. Предельный переход к классической формуле.

Поперечные размеры тела не зависят от движения.

28Импульс релятивистской частицы. Уравнение движения релятивистской частицы.

Релятивистское уравнение движения. Пусть имеются две ИСО XY иX'Y', движущиеся друг относительно друга. Причем система X'Y' является сопровождающей, т.е. в исследуемый момент времени тело в ней покоится. Масса тела m₀ в сопровождающей системе отсчета является массой покоя. Для системы X'Y' справедлив 2 закон Ньютона F' = m·a'. Вектора силы и ускорения и их проекции на нормальное n и тангенциальное  направления в сопровождающей СО изображены на рис. 14.1 (обозначения со штрихами). Исходя из 2 закона Ньютона и рис. 14.1, можно записать уравнение динамики относительно сопровождающей СО:

.     (14.1) рис.14.1

Найдем как будет выглядеть данное уравнение в системе отсчета XY, которую условно будем считать неподвижной. Используя соотношения (6.10-6.11), и учитывая, что a_ - продольная составляющая ускорения (направлена вдоль скорости движения сопровождающей СО), а a_n - поперечная составляющая ускорения, получим релятивистское уравнение, описывающее движение тела в системе XY:

,     (14.2) где  = V/c - отношение скорости движения сопровождающей СО к скорости света. Причем в этой СО скорость движения тела v равна скорости движения системы V.

Еще раз отметим, что поскольку нормальная и тангенциальная составляющие вектора ускорения a изменяются по-разному с изменением скорости движения сопровождающей СО, а вектора F и F' равны и не зависят от скорости движения системы, то в общем случае вектора силы F и ускорения a не параллельны. Следовательно, 2 закон Ньютона в системе XYне выполняется.

Проведем дальнейшие преобразования уравнения (14.2). Поскольку вектора нормального и тангенциального ускорения рассчитываются, исходя из выражений (14.3)

,     (14.3)

то уравнение (14.2) можно записать в виде:

.     (14.4)

Проведем дальнейшие упрощения. Исходя из определения ускорения, имеем:

. (14.5)

Следовательно, 

.     (14.6)

Кроме того, путем дифференцирования можно показать, что справедливо следующее выражение:

.     (14.7)

Используя выражения (14.6-14.7), уравнение (14.4) преобразуем к виду, которое представляет собой

 релятивистское уравнение движения:

.     (14.8)

29 Закон сохранения энергии в релятивистском случае. Полная энергия и энергия покоя. Кинетическая энергия релятивистской частицы.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае. Если частица движется только в поле консервативных сил, то работа на элементарном участке равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с обратным знаком A = - E_п. Тогда уравнение (14.16) можно представить в виде:

.     (14.18)

Обобщив выражение (14.18) на систему тел, можно сформулировать закон сохранения энергии в релятивистском случае.

Для системы тел, находящихся в поле только консервативных сил, сумма полной релятивистской энергии и потенциальной энергии системы остается постоянной.

Понятие полной релятивистской энергии. Обратимся вновь к определениям потенциальной и кинетической энергии. Поскольку потенциальная энергия - есть функция конфигурации системы и ее изменение, взятое с обратным знаком, равно работе внутренних консервативных сил, то изменение потенциальной энергии при однотипном изменении конфигурации системы не зависит от скорости движения ИСО.

Для кинетической энергии такого соответствия не наблюдается, поскольку ее значение зависит от скорости движения тел, а они различны в разных ИСО. Тем не менее воспользуемся тем же самым способом, какой мы применяли при введении понятия кинетической энергии для случая движения тел с малыми скоростями. Однако, в качестве уравнения движения используем релятивистскую форму записи F = dP_рел/dt. Используя выражение для релятивистского импульса (14.10), получим:

.     (14.12)

Умножив уравнение (14.12) скалярно на вектор скорости частицы v, и спроецировав его на тангенциальное направление, получим, что выполняется следующее соотношение:

.     (14.13)

Путем дифференцирования можно показать, что справедливо соотношение:

.     (14.14)

Следовательно,

.     (14.15)

Умножив последнее уравнение на величину dt, получим, что величина работы A на элементарном перемещении dr равна:

.     (14.16)

Величина E, равная 

,      (14.17) где  - отношение скорости частицы к скорости света в вакууме.

называется полной релятивистской энергией системы.

Изменение полной релятивистской энергии системы равняется работе всех сил, действующих на эту систему.

Энергия покоя. Физический смысл полной релятивистской энергии.Обратимся вновь к понятию полной релятивистской энергии тела. Если его скорость равняется нулю, то полная энергия отлична от нуля и рассчитывается согласно выражению (14.19):

E₀ = m₀·c².     (14.19)

Величина E₀ называется энергией покоя. Разложив в ряд выражение (14.17), можно показать, что:

полная релятивистская энергия тела при малых скоростях ее движения равна сумме его энергии покоя и кинетической энергии

.  (14.20)

Потенциальная энергия в понятие полной релятивистской энергии не входит.

Исходя из (14.20), имеем, что кинетическая энергия тела движущегося с произвольной скоростью равна:

.     (14.21)

При малых скоростях движения выражение (14.21) эквивалентно полученной ранее для расчета нерелятивистской кинетической энергии E_к = m₀·v²/2.