Министерство образования и науки Российской Федерации Тольяттинский государственный университет Кафедра «Электрооборудование автомобилей и электромеханика»

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

ПРАКТИКУМ

по курсу «Теория планирования эксперимента»

Тольятти, 2012

ББК

УДК

М ….

М… Методы обработки и планирования экспериментов: практикум по курсу «Теория планирования эксперимента»/ сост. М.Н. Третьякова. – Тольятти: ТГУ, 2012. – 24с.

Практикум содержит контрольные вопросы и практические задания для самостоятельной работы студентов, изучающих статистические методы исследований технических объектов.

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом Тольяттинского государственного университета.

© Тольяттинский государственный университет, М.Н. Третьякова

Содержание

	Стр.
Введение……………………………………………………….…………………	3
1. Линейный регрессионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов……………………………………………………………………	5
2. Нелинейный регрессионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов………………………………………………………	12
3. Дисперсионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов……………………………………………………………………	14
4. Симплекс-планирование при решении задач оптимизации……………….	17
5. Регрессионный анализ при многофакторном активном эксперименте…..	19
Приложения……………………………………………………………………..	23

Введение

Будущая профессиональная деятельность студентов, обучающихся по профилю «Электромеханика» при решении творческих задач в процессе научно-исследовательской или проектной работы может быть связана с реализацией экспериментальных исследований, моделированием и анализом функционирования электромеханических систем, которые часто подвергаются воздействиям статистико-вероятностного характера. В связи с этим в курсе «Теория планирования эксперимента» осуществляется знакомство студентов с методами статистической обработки экспериментальных данных и организации активного эксперимента.

При выполнении практических заданий будут использоваться следующие понятия из области математической статистики.

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – это функция от наблюдаемой случайной величины. Например, оценка математического ожидания нормального распределения представляет собой среднее арифметическое значение от наблюдаемых значений признака:

, где п – объём выборки.

Отклонение – это разность между значением признака и общей средней: = .

Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего значения:

.

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

.

Статистической оценкой дисперсии генеральной совокупности по дисперсии выборки является «исправленная» дисперсия.

,

где – выборочная дисперсия (дисперсия выборки).

– оценка среднего квадратического отклонения генеральной совокупности по среднему квадратическому отклонению выборки.

1 Линейный регрессионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов

Под регрессионным анализом понимается исследование закономерностей связи между процессами, которые зависят от многих, иногда неизвестных факторов. Часто между переменными х и у существует не вполне определённая связь, при которой одному значению х соответствует несколько значений у. В таких случаях связь называют регрессионной (корреляционной).

Суть регрессионного анализа сводится:

• к установлению уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами (факторами х и функцией отклика у) у=f(х),

• оценке тесноты связей между ними,

• оценке достоверности и адекватности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между х и у, наносят точки на график и строят так называемое корреляционное поле. По тесноте группирования точек вокруг какой-либо линии можно визуально судить о наличии корреляционной связи. Корреляционное поле характеризует вид связи между х и у. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующего прямолинейную или криволинейную зависимости.

Рис. 1 Корреляционное поле

В случае однофакторной линейной регрессии математическая модель процесса будет иметь вид: у=b₀+b₁x.

Коэффициенты уравнения регрессии b₀ и b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений отклика у от прогнозных (полученных по уравнению регрессии) была минимальна (это – метод наименьших квадратов (МНК). При этом значения коэффициентов равны:

,

,

где n – число измерений, – среднее значение фактора, – среднее значение функции отклика.

Критерием близости корреляционной связи между х и у к линейной зависимости является коэффициент корреляции: и коэффициент детерминации r^2.,

где и – средние квадратические отклонения случайных величин х и у.

Для оценки достоверности и адекватности полученной линейной зависимости рассчитываются и оцениваются приведённые ниже показатели.

1. Средняя ошибка аппроксимации: ,

где – теоретическое значение функции отклика, для конкретного экспериментального значения фактора х.

2. Экспериментальное значение F-критерия (Фишера) F=D_Ф/D_ост, которое сравнивается теоретическим (табличным) коэффициентом F_табл(α, f1, f2) при уровне значимости  (обычно 0,05 или 0,01) и исправленных дисперсий числителя – f1=k и знаменателя – f2=(п- k)-1.

Условие адекватности уравнения регрессии при F-критерии, рассчитанным данным способом заключается в выполнении неравенства:

F=D_Ф/D_ост F_табл(α , f1, f2),

где – исправленная факторная дисперсия, характеризующая рассеяние выходного параметра модели относительно среднего значения. Здесь k – число степеней свободы, на единицу меньшее количества искомых коэффициентов уравнения регрессии (количество факторов равно k, количество искомых коэффициентов уравнения регрессии – k+1, число степеней свободы исправленной факторной дисперсии – (k+1)-1=k.

– исправленная остаточная дисперсия, обусловленная влиянием неучтенных факторов и ошибками измерений в ходе проведения эксперимента, характеризующая отклонение результатов опыта от линии регрессии.

3. Экспериментальные значения t-критерия (Стьюдента)

где – стандартное отклонение свободного члена уравнения регрессии, – стандартное отклонение коэффициента регрессии b, – остаточная дисперсия, приведённая на одну степень свободы.

Опытное значение критерия сравнивается с табличным t_табл(, t1) для заданного уровня значимости и числа степеней свободы t1=п-(k+1-1)-1=n-k-1. Если t t_табл(, t1), то коэффициенты регрессии являются значимыми. Табличное значение t-критерия может быть определено в EXEL с помощью функции Стьюдраспробр.

4. Доверительные интервалы для свободного члена и коэффициента регрессии: b₀- b₀b₀ b₀+ b₀ и b₁- b₁b₁ b₁+ b₁.

где – предельная ошибка для свободного члена уравнения, – предельная ошибка для коэффициента уравнения регрессии.

Контрольные вопросы:

1. С какой целью проводится регрессионный анализ?

2. Какая связь между факторами и откликом является корреляционной?

3. Для чего строится поле корреляции?

4. Какой принцип полужен в основу для определения коэффициентов регрессии?

5. Что оценивает коэффициент корреляции?

6. В каких пределах может изменяться коэффициент корреляции?

7. Что оценивает коэффициент детерминации?

8. В каких пределах может изменяться коэффициент детерминации?

9. Как оценить адекватность полученной математической модели?

10. Как оценить значимость коэффициентов корреляции?

11. По какому показателю можно в целом судить о качестве подобранной математической модели исследуемого процесса?

12. С какой целью определяются доверительные интервалы для коэффициентов регрессионной зависимости?

Задания для самостоятельной работы:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о виде уравнения регрессии (линейное, параболическое, и т.д.).

2. Построить наиболее подходящее уравнение регрессии.

3. Оценить величину влияния фактора на исследуемый показатель с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

4. Оценить качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5. Проверить адекватность математической модели с помощью F-критерия.

6. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

7. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,95.

8. Сделать выводы по полученным результатам.

Вариант 1

Имеются статистические данные о сроке эксплуатации силовых трансформаторов мощностью 63 МВА и повреждаемости в процентах в год от общего парка эксплуатируемых трансформаторов на предприятиях электрических сетей.

Срок эксплуатации, год	% повреждаемости от общего парка
31	12,81
32	16,32
33	19,03
35	27,45
36	30,92
37	34,21
38	36,82
39	41,00
40	42,77
41	46,99
42	49,27
43	51,35
44	55,11
45	58,27

Вариант 2

Имеются статистические данные о сроке эксплуатации силовых трансформаторов мощностью 63 МВА и повреждаемости в процентах в год от парка эксплуатируемых трансформаторов на предприятиях электрических сетей.

Срок эксплуатации, год	% повреждаемости от общего парка
10	0,90
11	1,60
12	2,40
13	3,00
14	3,71
15	4,10
16	5,02
17	5,77
18	6,25
19	7,33
20	7,81
21	8,37
22	9,05
25	11,00

Вариант 3

Имеются статистические данные измерений тока возбуждения и тока статора вентильного индукторного двигателя

Ток возбуждения, А	Ток статора, А
4,99	0
4,51	2,4
3,78	6,2
3,51	7,3
3,44	8,3
3,35	8,8
2,51	13,4
2,01	17,3
1,98	17,5
1,51	18,4
1,01	24,1
0,82	26,3
0,52	27,4
0,49	27,9

Вариант 4

Имеются статистические данные о сроке эксплуатации силовых трансформаторов и накоплении влаги в бумажной основе изоляции обмоток

Срок эксплуатации, год	Влажность бумажной изоляции, %
0,5	0,06
1,0	0,11
1,5	0,17
2,0	0,23
2,5	0,24
3,0	0,32
3,5	0,38
4,0	0,41
4,5	0,45
5,0	0,52
5,5	0,55
6,0	0,59
6,5	0,69
7,0	0,73

Вариант 5

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Реактивная мощность каскада, Мвар
0,025	4,30
0,050	4,25
0,075	4,21
0,100	4,11
0,125	4,00
0,150	3,75
0,175	3,71
0,200	3,49
0,225	3,21
0,250	3,01
0,275	2,86
0,300	2,77

Вариант 6

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Активная мощность двигателя, Мвт
0,025	4,31
0,050	3,77
0,075	3,62
0,100	3,43
0,125	3,12
0,150	3,01
0,175	2,77
0,200	2,47
0,225	2,24
0,250	2,24
0,275	2,05
0,300	1,97

Вариант 7

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Реактивная мощность двигателя, Мвар
0,025	3,36
0,050	3,17
0,075	3,05
0,100	2,99
0,125	2,94
0,150	2,82
0,175	2,79
0,200	2,79
0,225	2,75
0,250	2,73
0,275	2,57
0,300	2,51

Вариант 8

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Реактивная мощность трансформатора, Мвар
0,025	1,44
0,050	1,38
0,075	1,25
0,100	1,13
0,125	1,01
0,150	0,97
0,175	0,87
0,200	0,79
0,225	0,71
0,250	0,63
0,275	0,54
0,300	0,50

Вариант 9

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Активная мощность рекуперации, Мвт
0,075	0,00
0,100	0,17
0,125	0,24
0,150	0,32
0,175	0,39
0,200	0,42
0,225	0,47
0,250	0,48
0,275	0,50
0,300	0,50
0,325	0,51
0,350	0,49

Вариант 10

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя

Скольжение, о.е.	Активная мощность каскада, Мвт
0,025	4,32
0,050	3,39
0,075	3,38
0,100	3,24
0,125	3,03
0,150	2,63
0,175	2,49
0,200	2,28
0,225	2,02
0,250	1,87
0,275	1,61
0,300	1,50