2.3.2 Однофакторная нелинейная регрессии

При составлении математических моделей может оказаться, что предложенное уравнение линейной регрессии неадекватно описывает исследуемый процесс или по виду поля корреляции видно, что линия регрессии криволинейной формы (рис.9). В этом случае порядок уравнения, описывающего процесс, повышается. Для описания процесса, представленного на рис.9, может применяться полином второй степени вида: .

Рис.9 Нелинейная регрессия

Для расчёта коэффициентов уравнения также как и в случае линейной регрессии применяется метод наименьших квадратов. При этом математическая модель подбирается так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений отклика у от регрессионных была минимальна:

.

Приравнивая к нулю частные производные функции Fпо коэффициентам b₀, b₁, b₂, получим:

, ,

, , 

, ,

, ,

, ,

, ,

Введём обозначения: ,

,

,

,

,

,

.

Тогда система уравнений будет иметь вид:

,

,

.

Это – система из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными b₀, b₁, b₂. Из курса математики известно, что эта система уравнений может быть решена с помощью определителей.

Определитель, составленный из неизвестных коэффициентов уравнений равен: .

Определитель, полученный заменой в определителе  столбца из коэффициентов при b_0, столбцом свободных членов системы уравнений:

. Аналогично для других неизвестных:

и .

Если определитель 0, то решение системы уравнений имеет вид:

, и .

Аналогичным образом рассчитываются коэффициентов полиномов любого порядка:

.

Для расчёта коэффициента детерминации r², характеризующего точностные свойства уравнения регрессии, удобно пользоваться формулой:

.

Как было отмечено выше, этот коэффициент показывает, какая доля из общего рассеяния экспериментальных значений отклика относительно своего среднего обусловлена регрессионной зависимостью. Коэффициент детерминации находится в пределах 0r²1. Если r²=0, то вариация выходного параметра полностью определяется случайными возмущениями, а влияние фактора х на отклик у не обнаруживается. Если r²=1, то регрессионная кривая проходит через все экспериментальные точки. Однако применение этого критерия при малом числе выборки недостаточно, может даже привести к заблуждению. Поэтому должны рассчитываться все другие критерии, рассмотренные в линейном регрессионном анализе.

Коэффициент корреляции r для нелинейной регрессии является мерой зависимости случайных величин:

.

Чем ближе коэффициент корреляции r к 1, тем теснее связь рассматриваемых признаков.

Оценка адекватности и построение доверительных интервалов проводится по методике, изложенной выше.

2.4 Обработка результатов эксперимента методом дисперсионного анализа

Применение регрессионного анализа невозможно, когда в качестве исследуемых величин выступают качественных факторы. Например, партия сырья, тип прибора, модель станка, т.е. – такие параметры, которые нельзя измерить по масштабной шкале. В этом случае для обработки результатов эксперимента применятся дисперсионный анализ. Он пригоден для обработки любых экспериментальных данных, однако его целесообразно применять для анализа специально организованного активного эксперимента.

Приведение дисперсионного анализа возможно, если результаты измерений являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с одинаковыми дисперсиями.

Дисперсионный анализ предназначен для выявления степени влияния отдельных контролируемых качественных параметров на отклик. Например, имеется некоторый исследуемый объект (рис. 10), на входе которого действуют два фактора х₁(t) и х₂(t), влияющие на выходной показатель объекта у. Кроме того, на целевую функцию у влияют помехи, которые удобно учитывать аддитивной переменной .

Рис. 10 Упрощенная схема объекта исследования

При произвольном изменении случайной помехи  и стабилизировании факторов х₁(t)=const и х₂(t)=const целевая функция у будет колебаться возле некоторого устойчивого среднего значения с постоянной дисперсией D( ). Эти колебания определяются только помехами  (см. рис.11). На графике этому соответствует участок t=0 t1. Пусть в момент времени t= t1 при скачкообразном изменении одного из факторов происходит изменение функции цели. Теперь отклик колеблется около другого своего среднего значения , которое больше , но с той же дисперсией D( )=D( ), которая также определяется только помехами .

Рис.11 График изменения функции отклика у

Если дисперсия D( )=D( ) достаточно велика, то небольшое число опытов не позволит судить о влиянии фактора на отклик. Однако заключение о результатах такого воздействие можно сделать, разложив общую дисперсию на составные части, обусловленные отдельными факторами, их взаимодействиями (если факторов несколько) и неучтёнными случайными причинами (помехами).

Таким образом, дисперсионный анализ – это статистический анализ переменных факторов по их дисперсиям.

В зависимости от количества исследуемых факторов, различают однофакторный, двухфакторный и многофакторный дисперсионный анализ.