2.2.6 Доверительный интервал. Доверительная вероятность
Другими словами в результате эксперимента требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать – к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра его точечной оценкой (точечная оценка – оценка, которая определяется одним числом) и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам. Вследствие этого пользуются интервальными оценками. Оценка, определяемая двумя числами – концами интервала, называется интервальной.
Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями. Понятие доверительная вероятность равнозначно понятию надежности.
Все оценки параметров распределения выборки носят случайный характер и от параметров генеральной совокупности могут сильно отличаться. Чтобы им доверять нужно, чтобы интервал ( -; +) с заданной надежностью накрывал бы неслучайное значение параметра генеральной совокупности .. Такой интервал называется доверительным. Обычно величину доверительной вероятности принимают в пределах от 0,95 до 0,99.
Нахождение доверительных интервалов основано на том, что математическое ожидание, дисперсия и сама оценка распределена по нормальному закону. Вероятность того, что оценка не превысит интервал – подчиняется нормальному закону:
.
Неравенство в круглых скобках
где
– находится с помощью таблиц Лапласа,
п –
объём выборки,
– среднее
квадратичное отклонение.
Следовательно,
Ф(t)=/2.
По таблице функции Лапласа находят
аргумент
,
которому соответствует значение функции
Лапласа, равное /2.
Например: в результате равноточных измерений получили ошибку =30, требуется определить количество опытов п для обеспечения заданной точности измерений =5 (доверительный интервал) и доверительной вероятности (надёжности) =0,9.
По таблице Лапласа
находим t=1,643,
=97
опытов.
2.2.7 Статистические оценки параметров распределения
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.
Например, для оценки математического ожидания нормального распределения используется среднее арифметическое значение от наблюдаемых значений признака:
где п – объём выборки.
Отклонением называют разность между значением признака и общей средней:
=
.
Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от их среднего значения
.
Среднее квадратическое
отклонение:
.
Для оценки генеральной дисперсии по выборочной используют исправленную дисперсию (в противном случае будет заниженное значение, т.е. это будет смещённая оценка).
Исправленную дисперсию обозначают S2:
.
где
– выборочная дисперсия (дисперсия
выборки).
Исправленная дисперсия S2 – это статистическая оценка дисперсии генеральной совокупности по дисперсии выборки.
S – исправленное среднее квадратическое отклонение (оценка среднего квадратического отклонения генеральной совокупности по среднему квадратическому отклонению выборки):
.